Определите высоту правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна a, а косинус двугранного угла при боковом ребре равен (-0,625)

Дана правильная шестиугольная пирамида, сторона основания которой равна a, а косинус двугранного угла φ при боковом ребре равен (-0,625) или (-5/8).  

Угол φ равен arc cos(-0,625) = 2,24592786  радиан или

128,6821875  градуса.

Тангенс половины этого угла равен:

tg(φ/2) = √((1 - cos φ)/(1 + cosφ)) = √(1 - (-5/8))/(1 + (-5/8)) = √(13/3).

Проведём короткую диагональ основания. Она равна а√3.

Середина её находится на середине половины длинной диагонали основания. Половина длинной диагонали основания - это радиус описанной окружности вокруг основания и равна стороне основания.

Из этой точки проведём перпендикуляр h к боковому ребру L.

h = ((a√3)/2)/tg(φ/2) = ((a√3/2)/(√13/√3) = 3a/2√13.

Синус угла наклона бокового ребра к основанию равен:

sin α = h/(a/2) = (2*3a)/(2√13*a) = 3/√13.

Отсюда находим тангенс угла α:

tg α = sin α/√(1 - sin²α) = 3/2 = 1,5.

Отсюда высота пирамиды равна H = a*tg α = 1,5a.