Определите , имеет ли функция y=f(x) экстремумы.Найдите их.
а) f(x)=x4-2x^3+4 б) f(x)=x+ 1/x(тут идет сначала х+ потом 1деленное на х в) f(x)=2-6x-2x^3+x2

Добрый день!

Для того чтобы определить, имеет ли функция экстремумы, мы должны сначала найти ее производную и проанализировать ее поведение.

а) f(x) = x^4 - 2x^3 + 4

1. Найдем первую производную функции f(x):

f'(x) = 4x^3 - 6x^2

2. Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

4x^3 - 6x^2 = 0

4x^2(x - 3) = 0

Таким образом, получаем две возможные точки экстремума: x = 0 и x = 3.

3. Теперь проведем анализ поведения функции в окрестности этих точек.

- При x < 0 функция f(x) возрастает.
- При 0 < x < 3 функция f(x) убывает.
- При x > 3 функция f(x) снова возрастает.

Таким образом, функция f(x) имеет минимум в точке x = 3.

б) f(x) = x + 1/x

1. Найдем первую производную функции f(x):

f'(x) = 1 - 1/x^2

2. Приравниваем производную к нулю и решим уравнение:

1 - 1/x^2 = 0

1/x^2 = 1

x^2 = 1

Таким образом, получаем две возможные точки экстремума: x = -1 и x = 1.

3. Анализируем поведение функции в окрестности найденных точек:

- При x < -1 функция f(x) убывает.
- При -1 < x < 0 функция f(x) возрастает.
- При 0 < x < 1 функция f(x) убывает.
- При x > 1 функция f(x) снова возрастает.

Таким образом, функция f(x) имеет максимум в точке x = -1 и минимум в точке x = 1.

в) f(x) = 2 - 6x - 2x^3 + x^2

1. Найдем первую производную функции f(x):

f'(x) = -6 - 6x^2 + 2x

2. Приравниваем производную к нулю и решим уравнение:

-6 - 6x^2 + 2x = 0

6x^2 - 2x - 6 = 0

3x^2 - x - 3 = 0

3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-1)^2 - 4 * 3 * (-3)

D = 1 + 36

D = 37

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных вещественных корня.

Применяя квадратное уравнение, получаем:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (1 ± √37) / 6

Таким образом, получаем две возможные точки экстремума: x ≈ -1,218 и x ≈ 1,885.

4. Теперь проведем анализ поведения функции в окрестности этих точек.

- При x < -1,218 функция f(x) возрастает.
- При -1,218 < x < 1,885 функция f(x) убывает.
- При x > 1,885 функция f(x) снова возрастает.

Таким образом, функция f(x) имеет минимум в точке x ≈ -1,218 и максимум в точке x ≈ 1,885.

Все найденные значения являются приближенными и округленными до трех знаков после запятой для удобства.