Определить характер функции, в точке x0 и выделить главные части
Задание 5.б)

Для определения характера функции в точке x0 и выделения главных частей, нам необходимо разобраться в основных свойствах функции и проанализировать ее поведение в окрестности данной точки.

1. Начнем с определения понятия главных частей функции. Главными частями функции являются те элементы, которые определяют ее основное поведение вблизи данной точки. Они могут быть как постоянными членами выражения функции, так и переменными членами, которые зависят от значения x.

2. Теперь перейдем к определению характера функции в точке x0. Для этого необходимо проанализировать производные функции в окрестности точки x0. Если производные существуют и сохраняют свой знак в этой окрестности, то говорят о строго возрастающей или строго убывающей функции. Если производные меняют знаки, то функция называется неубывающей или невозрастающей. При отсутствии производных или их несуществовании можно использовать другие методы, такие как почленное сравнение функции со значением x, либо использование границ функции на интервале.

Теперь рассмотрим пошаговое решение задачи:

1. Посмотрим на данное изображение функции f(x).
2. Определим область определения функции. В данном случае это все действительные числа, кроме x=1.
3. Для начала проверим, существует ли производная функции f(x) в окрестности точки x0=1. Для этого возьмем предел производной по x, при приближении x к x0. Если предел существует, значит, функция имеет производную в данной точке.
4. Вычислим производные функции f(x) в окрестности x0=1. Производная функции обозначается как f'(x) или df(x)/dx.
5. Если производные в окрестности x0 сохраняют свой знак, то функция будет строго возрастающей или строго убывающей.
6. Если производные меняют свои знаки или производные не существуют, нужно использовать другие методы анализа.
7. В данном случае, мы можем заметить, что функция фактически состоит из двух функций: корневого выражения и выражения с дробью.
8. Для главной части корневого выражения, можно заметить, что не существует значений x₀ меньше 1, при которых корень функции будет больше нуля.
9. В главной части выражения с дробью, видно, что числитель функции всегда будет больше знаменателя.
10. Отметим, что функция f(x) строго возрастает при x>1.

Таким образом, мы определили характер функции в точке x0=1 и выделили главные части функции, которые имеют наибольший вклад в поведение функции вблизи этой точки.