Окружность, вписанная в треугольник АВС, освещает стенки АВ и АС в точках М и N. Р-точка пересечения прямой MN и угла В с биссектрисой. Докажите, что угол ВРС вертикальный

Пошаговое объяснение:Вариант 1, при АВ>BC.

а)  В ∆ АВС отрезок EF - средняя линия, так как соединяет середины

сторон АВ и АС.

ЕF параллельна ВС. Отрезок MD - секущая.

Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. ∠MDF=∠DMC.

По свойству касательных из одной точки СМ=CN и ∆ МСN - равнобедренный и углы при его основании MN равны (свойство): ∠NMC=∠MNC.

∠MNC=∠FND (вертикальные). Отсюда

∠MDF=∠FND. Треугольник DFN- равнобедренный с основанием DN, FN=FD. Что и требовалось доказать.

б)  В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:

То есть CN = (AC + BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2.

FN=FC-CN = AC/2 - (AC+BC-AB)/2 = AB/2-BC/2.

Но FN = FD (доказано выше) и

ED=EF+FD=EF+FN = BC/2+AB/2-BC/2=AB/2=BE.

Треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED).

Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3.

Треугольник  ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна

Sbed=25√3.

Для второго варианта, при АВ<ВС:

а). EF параллельна ВС, MN - секущая. <NDF=<NMC (соответственные углы). СМ=CN (касательные из одной точки) => треугольник MNC

равнобедренный и <NMC=<MNC (углы при основании). Отсюда <MNC=<NDF и треугольник DFN - равнобедренный с основанием ND.

FN=FD. Что и требовалось доказать.

б). CN = (AC+BC+AB)/2 - AB = (AC+BC-AB)/2.

FN=CN-CF = (AC+BC-AB)/2 - AC/2 - = BC/2-АВ/2.

Но FN = FD (доказано выше) и

ED=EF-FD=EF-FN = BC/2-BC/2+АВ/2=AB/2=BE.

То есть треугольник BED равнобедренный. (ВЕ=ED).

Проведем DK параллельно АВ. Тогда четырехугольник DEBK - ромб и его площадь равна S=BE²*Sin (ABC) = 100*√3/2 =50√3.

Треугольник  ВЕD - половина ромба ВЕDK и его площадь равна

Sbed=25√3.