Один катет прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. квадрат, построенный на гипотенузе этого треугольника, равновелик прямоугольнику, длина которого 68см, а ширина равна большему катету треугольника. определите длины катетов этого треугольника.

Давай разберем этот вопрос пошагово.

Предположим, что меньший катет треугольника равен x. Тогда больший катет будет равен 4x, так как один катет прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого.

Теперь нам нужно найти длину гипотенузы треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, которая говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, мы можем записать уравнение:
(4x)^2 = x^2 + y^2,
где y - это длина гипотенузы.

Раскроем скобки:
16x^2 = x^2 + y^2.

Теперь вычтем x^2 из обеих сторон уравнения:
16x^2 - x^2 = y^2.

После упрощения получим:
15x^2 = y^2.

На этом этапе мы должны заметить, что у нас есть информация о квадрате, построенным на гипотенузе треугольника. Мы знаем, что этот квадрат равновелик прямоугольнику со сторонами 68 см и y см.

Поэтому мы можем записать уравнение для площади квадрата:
y^2 = 68 * y.

Делая замену в уравнении площади квадрата, мы получим:
15x^2 = 68 * y.

Теперь у нас есть два уравнения:
15x^2 = y^2 и y^2 = 68 * y.

Мы можем применить закономерность, что если два выражения равны между собой, то их квадраты тоже равны.

Поэтому мы можем записать уравнение:
(15x^2)^2 = (68 * y)^2.

Раскроем скобки:
225x^4 = 4624 * y^2.

Теперь у нас есть новое уравнение:
225x^4 = 4624 * y^2.

Мы также можем заметить, что у нас есть прямоугольник со сторонами 68 см и y см (вместо большого катета). При этом площадь этого прямоугольника равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. То есть, мы можем записать уравнение:
68 * y = 68 * 4x.

Упростили:
y = 4x.

Теперь мы можем заменить y в уравнении 225x^4 = 4624 * y^2:
225x^4 = 4624 * (4x)^2.

Распределим степени:
225x^4 = 4624 * 16x^2.

Теперь делим обе части уравнения на 16x^2:
225x^4 / (16x^2) = 4624.

Упрощаем выражение:
225x^2 / 16 = 4624.

Теперь умножим обе части уравнения на 16:
225x^2 = 16 * 4624.

Рассчитаем правую часть уравнения:
225x^2 = 73984.

Теперь делим обе части уравнения на 225:
x^2 = 73984 / 225.

Вычисляем правую часть уравнения:
x^2 = 328.15.

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
x = sqrt(328.15).

Теперь можем вычислить значение x:
x ≈ 18.10.

Так как мы знаем, что больший катет треугольника равен 4x, его длина будет:
4x ≈ 4 * 18.10 ≈ 72.40.

Таким образом, меньший катет треугольника примерно равен 18.10, а больший катет примерно равен 72.40.