Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и катета равна 48°. найдите гипотенузу?

В прямоугольном треугольнике с углом 30° длина гипотенузы в 2 раза больше длины меньшего катета.
х - длина меньшего катета, тогда
2х - длина гипотенузы

√3х - длина большего катета
Если 48 - сумма длин меньшего катета и гипотенузы, тогда:
x + 2х = 48
3х = 48
х = 16
2x = 32
Если 48 - сумма длин большего катета и гипотенузы, тогда:

ответ: длина гипотенузы: 16 см или 96·(2-√3) см.

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, обозначим угол прямоугольного треугольника, который равен 30°, как угол A. Также, обозначим гипотенузу как c и катет как b.

Известно, что сумма гипотенузы и катета равна 48°. Мы можем записать это как уравнение:
c + b = 48

Также, мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, а угол A равен 30°. Значит, третий угол (угол B) будет:
B = 180 - 90 - 30 = 60°

Мы можем использовать синус угла A, чтобы найти катет b. Синус угла A можно посчитать по формуле:
sin(A) = противолежащая сторона / гипотенуза

Заметим, что противолежащей стороной к углу A является катет b, и гипотенузой является c. Поэтому, мы можем переписать наше уравнение, используя синус:

sin(30) = b / c

Теперь, чтобы найти гипотенузу c, мы можем использовать теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2

Мы знаем, что у нас есть угол A равный 30° и угол B равный 60°. Так как у нас есть только один катет, мы можем использовать его для решения задачи.

Мы можем переписать уравнение теоремы Пифагора, используя синус угла A и катет b:

b^2 + (b / sin(30))^2 = c^2

Теперь, мы можем подставить значение суммы гипотенузы и катета - 48 - в первое уравнение:

c + b = 48

c = 48 - b

Теперь мы можем заменить c во втором уравнении:

b^2 + (b / sin(30))^2 = (48 - b)^2

Решаем уравнение относительно b:

b^2 + (2b^2/sqrt(3))^2 = (48 - b)^2

b^2 + (4b^2/3))^2 = (48 - b)^2

Упрощаем уравнение:

9b^2 + 16b^2 = 3(48 - b)^2

25b^2 = 3(48 - b)^2

Раскрываем скобки:

25b^2 = 3(2304 - 96b + b^2)

25b^2 = 6912 - 288b + 3b^2

Собираем все члены в одну сторону уравнения:

0 = 3b^2 - 25b^2 + 288b - 6912

0 = 2b^2 + 288b - 6912

Решаем уравнение для b. Мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение:

2b^2 + 288b - 6912 = 0

(2b + 576)(b - 12) = 0

Из этого уравнения два возможных значения для b: -576/2 = -288 и 12.

Так как b - это длина стороны, она не может быть отрицательной, поэтому b = 12.

Теперь, чтобы найти c, мы можем подставить b = 12 в наше уравнение для c:

c + 12 = 48

c = 48 - 12

c = 36.

Таким образом, гипотенуза равна 36.