Очень ! Числа a, b, c — натуральные. Выберите все верные утверждения. если a⫶c и b⫶c, то (a+b)⫶c

если (a−b)⫶c, то a⫶c и b⫶c

если (a−b)⫶c и a⫶c, то b⫶c

если a⫶c, то ab⫶c

если ab⫶c, то a⫶c и b⫶c

если ab⫶c, то a⫶c или b⫶c

если числа натуральние значит они не геи

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и проверим, являются ли они верными.

1. Если a⫶c и b⫶c, то (a+b)⫶c.
По определению, a⫶c означает, что a и c не имеют общих делителей, аналогично для b⫶c. То есть, у чисел a и c нет общих делителей, и у чисел b и c нет общих делителей. Мы хотим узнать, верно ли, что (a+b)⫶c. Допустим, что (a+b)⫶c неверно, то есть у чисел (a+b) и c есть общий делитель d.
Тогда мы можем выразить (a+b) и c как (a+b) = dx и c = dy, где х и у — натуральные числа.
Раскроем скобки в первом уравнении: a+b = dx.
Используя это уравнение, мы можем заменить (a+b) во втором уравнении: (a+b)−b = dx−b. Это приводит нас к a = dx−b.
Теперь мы имеем два уравнения: a = dx−b и a = dy.
Вычитая эти два уравнения, получаем dx−b = dy, откуда dx = dy+b.
В этом уравнении оба dx и dy+m (где м — натуральное число) являются общими делителями чисел a и c, потому что мы выразили a и c через общие множители d и y. Это противоречит определению a⫶c и b⫶c, что означает, что (a+b)⫶c верно.

2. Если (a−b)⫶c, то a⫶c и b⫶c.
Допустим, что (a−b)⫶c верно. Это означает, что (a−b) и c не имеют общих делителей.
Если a⫶c неверно, значит у чисел a и c есть общий делитель d. Заменим a и c соответствующим образом: a = dx и c = dy, где x и y — натуральные числа.
Теперь мы можем переписать (a−b) = dx−b. Если у a и c есть общий делитель d, то dx−b также должно иметь общий делитель d. Это противоречит предположению, что (a−b)⫶c, поэтому верно, что a⫶c и b⫶c.

3. Если (a−b)⫶c и a⫶c, то b⫶c.
Пусть (a−b)⫶c и a⫶c верно. Это означает, что (a−b) и c не имеют общих делителей, а также a и c не имеют общих делителей.
Допустим, что b⫶c неверно, значит у чисел b и c есть общий делитель d.
Тогда мы можем заменить b и c на их эквиваленты через общий делитель d: b = dm и c = dn, где m и n — натуральные числа.
Теперь мы можем переписать (a−b) = (dn)m−b. Вынесем общий делитель: dn⋅m−b = (dm)n−b.
Оба выражения имеют общий делитель d, что противоречит предположению, что (a−b)⫶c. Значит верно, что b⫶c.

4. Если a⫶c, то ab⫶c.
Пусть a⫶c верно, это значит, что a и c не имеют общих делителей.
Если предположить, что ab⫶c неверно, то у чисел ab и c есть общий делитель d.
Тогда ab = dx и c = dy, где x и y — натуральные числа.
Разделим оба равенства на a: ab/a = dx/a и c/a = dy/a.
Получим b = dx/a и c = dy/a.
Мы вновь получаем числа b и c через их общий делитель d, что противоречит предположению, что a⫶c. Значит верно, что ab⫶c.

5. Если ab⫶c, то a⫶c и b⫶c.
Пусть ab⫶c верно, это значит, что ab и c не имеют общих делителей.
Допустим, что a⫶c неверно, то есть у чисел a и c есть общий делитель d.
Тогда мы можем заменить a и c на их эквиваленты через общий делитель d: a = dx и c = dy, где x и y — натуральные числа.
Теперь мы можем выразить ab как (dx)b = d(bx).
У чисел ab и c снова есть общий делитель d, что противоречит предположению, что ab⫶c. Значит верно, что a⫶c и b⫶c.

6. Если ab⫶c, то a⫶c или b⫶c.
Пусть ab⫶c верно, это значит, что ab и c не имеют общих делителей.
Допустим, что и a⫶c и b⫶c неверны, то есть у чисел a и c есть общий делитель d и у чисел b и c есть общий делитель e.
Тогда мы можем выразить a и c через общие делители d и e: a = dx и c = ey, где x и y — натуральные числа.
Теперь мы можем переписать ab как (dx)b = de(xy).
ab = dx⋅b, поэтому d является общим делителем ab и c. Это противоречит предположению, что ab⫶c. Следовательно, верно, что a⫶c или b⫶c.

Итак, следующие утверждения верны:
- Если a⫶c и b⫶c, то (a+b)⫶c
- Если (a−b)⫶c, то a⫶c и b⫶c
- Если a⫶c, то ab⫶c