Образующая конуса равна 16, наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов. Найти площадь основания конуса.

Для решения этой задачи, нам необходимо знать определение отношения и тригонометрия. Разобъем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем радиус основания конуса.
Известно, что образующая конуса равна 16. Обозначим радиус основания конуса как R и высоту как h. Так как наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, то у нас имеется прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 и углом 45 градусов. Так как углы прямоугольного треугольника суммируются до 90 градусов, то другой угол этого треугольника будет равен 90 - 45 = 45 градусов.

Шаг 2: Применим тригонометрию для нахождения радиуса.
Так как у нас имеется прямоугольный треугольник и известны один его угол и гипотенуза, можем использовать тригонометрическое соотношение:
sin(угол) = противоположная сторона / гипотенуза.

В данном случае мы знаем, что sin(45) = R / 16, поэтому можем записать:
16 * sin(45) = R.

Шаг 3: Найдем значение sin(45) и вычислим радиус.
Значение sin(45) равно sqrt(2)/2. Подставим это значение вместо sin(45) в наше уравнение:
16 * (sqrt(2)/2) = R.
Теперь можно решить это уравнение:
8 * sqrt(2) = R.

Таким образом, радиус основания конуса равен 8 * sqrt(2).

Шаг 4: Найдем площадь основания конуса.
Для нахождения площади основания конуса, мы должны знать формулу для площади круга, так как основание конуса - это круг. Формула для площади круга: S = pi * R^2, где pi - это математическая константа, примерно равная 3.1459.

Подставим значение радиуса R, полученного на предыдущем шаге:
S = pi * (8 * sqrt(2))^2.

Раскроем скобки и вычислим значение:
S = pi * (64 * 2).
S = pi * 128.

Таким образом, площадь основания конуса равна 128 * pi.

Ответ: Площадь основания конуса равна 128 * pi.