Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 6 см, а противолежащий угол равен 30°. Определи площадь полной поверхности конуса.

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать геометрические свойства конуса.

Площадь полной поверхности конуса состоит из двух частей: площади основания и площади боковой поверхности.

1. Рассчитаем площадь основания конуса.
Известно, что в основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 6 см, а противолежащий угол равен 30°. Такой треугольник называется равносторонним.
В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой и все углы равны 60°.
Таким образом, у нас есть равносторонний треугольник со стороной 6 см.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
Площадь = (сторона^2 * √3) / 4.
Здесь ^ обозначает возведение в степень, а √ - извлечение квадратного корня.

Подставим значения в формулу:
Площадь = (6^2 * √3) / 4
Площадь = (36 * √3) / 4
Площадь = 9 * √3

Таким образом, площадь основания конуса равна 9 * √3 квадратных сантиметров.

2. Рассчитаем площадь боковой поверхности конуса.
Боковая поверхность конуса представляет собой поверхность, образованную боковой образующей конуса.
Боковая образующая конуса - это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на основании, противоположной вершине.
В нашем случае, боковую образующую обозначим как l, а радиус основания - как r.

Из геометрических свойств конуса следует, что длина боковой образующей l может быть найдена по формуле:
l = √(r^2 + h^2),
где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Для нахождения длины боковой образующей нам понадобится высота конуса, которую мы можем определить по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и боковой образующей.
В нашем случае, высоту обозначим как h.

По теореме Пифагора:
h^2 = l^2 - r^2.

Таким образом, у нас есть два уравнения:
l = √(r^2 + h^2),
h^2 = l^2 - r^2.

Мы знаем, что боковая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а это значит, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором ребро основания конуса является гипотенузой, а высота - катетом. Также известно, что угол между гипотенузой и одним из катетов равен 60°.

В данном прямоугольном треугольнике, по условию, длина одного из катетов равна 6 см, а противолежащий угол равен 30°. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник со стороной 6 см и противолежащим углом 30°.

Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины другого катета и гипотенузы.

По теореме синусов:
sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза.
sin(30°) = 6 / гипотенуза.

Раскроем значение синуса 30°:
1/2 = 6 / гипотенуза.

Перемножим обе части уравнения на гипотенузу и получим:
гипотенуза = 6 / (1/2)
гипотенуза = 12.

Таким образом, гипотенуза равна 12 см.

Теперь мы можем решить уравнения для l и h:
l = √(r^2 + h^2),
h^2 = l^2 - r^2.

Подставим значения: l = 12, r = 6.
l = √(6^2 + h^2),
h^2 = 12^2 - 6^2.

Рассчитаем h:
h^2 = 12^2 - 6^2
h^2 = 144 - 36
h^2 = 108
h = √108
h = 6√3.

Теперь, когда у нас есть значение h, мы можем рассчитать l:
l = √(6^2 + (6√3)^2)
l = √(36 + 36*3)
l = √(36 + 108)
l = √144
l = 12.

Таким образом, длина боковой образующей l равна 12 см.

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности конуса по формуле:
Площадь боковой поверхности = π * r * l,
где π - число Пи (примерно 3.14), r - радиус основания конуса, l - длина боковой образующей конуса.

Подставим значения:
Площадь боковой поверхности = 3.14 * 6 * 12
Площадь боковой поверхности = 226.08

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна 226.08 квадратных сантиметров.

3. Найдем площадь полной поверхности конуса.
Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь полной поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности.

Подставим значения:
Площадь полной поверхности = 9 * √3 + 226.08
Площадь полной поверхности ≈ 9.3 * √3 + 226.08

Таким образом, площадь полной поверхности конуса составляет примерно 9.3 * √3 + 226.08 квадратных сантиметров.

Ответ: Площадь полной поверхности конуса составляет примерно 9.3 * √3 + 226.08 квадратных сантиметров.