Объем тетраэдра V=1, три его вершины находятся в точках А(0,0,1), В(1,2,4), С(1,3,5). Найти
координату четвертой вершины, если известно, что
она лежит на оси OY.

Даны 3 вершины тетраэдра: А(0,0,1), В(1,2,4), С(1,3,5).

Четвертая вершина лежит на оси OY, примем её координаты Д(0; у; 0).

Объём пирамиды, построенной на векторах a, b и c, равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c.

Находим координаты векторов AB, AC и AD:

AB = (1; 2; 3), АС = (1; 3;4) и АД = (0; у; -1).

Вычисляем 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD.

1           2          3|          1          2

1          3           4|          1          3

0          y          -1|          0          y  = -3 + 0 + 3y + 2 - 4y - 0 = -y - 1 = -(y + 1).

Результат вычислений берём со знаком «плюс», так как объём не может быть отрицательным.

(1/6)*(у + 1) = 1,

н = 6 - 1 = 5.

ответ: координата точки Д(0; 5; 0).