Нужно узнать, на какую цифру оканчивается число: 12(2003) + 26(2003) + 38(2003). цифра 2003 в скобках - это степень. в требовалось найти два варианта решения. один мне известен - используя закономерности возведения в степень,
найти цикл и узнать последнюю цифру каждого слагаемого, затем сложить. а вот как решить вторым совершенно не представляю. в интернете ничего не нашел.

Обозначим n ~ m, если последние цифры чисел n и m совпадают, т.е. числа n и m эквивалентны по модулю 10.

N = 12^2003 + 26^2003 + 38^2003 ~ 2^2003 + 6^2003 + 8^2003 = 2^2003 + (2^2003)(3^2003) + (2^2003)(2^2003)(2^2003) = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003))

Составим таблицу 2^n:

n               Значение     Последняя цифра

0                2^0 = 1        1

1                2^1 = 2        2

2                2^2 = 4        4

3                2^3 = 8        8

4                2^4 = 16      6

5                2^5 = 32      2

6                2^6 = 64      4

7                2^7 = 128    8

8                2^8 = 256    6

...

Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная со 2-й строки. Период равен 4.

Последняя цифра числа 2^n равна:

1: n = 0

4: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,3,...

8: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,3,...

6: n = 4k, где k = 1,2,3,...

Отсюда находим, что 2^2003 = (2^2000)*(2^3) = (2^(500*4))*(2^3) ~ 6*8 = 48 ~ 8

Составим таблицу 3^n:

n                Значение    Последняя цифра

0                3^0 = 1        1

1                3^1 = 3        3

2                3^2 = 9        9

3                3^3 = 27      7

4                3^4 = 81      1

5                3^5 = 243    3

6                3^6 = 729    9

7                3^7 = 2187  7

8                3^8 = 6561  1

...

Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная с 1-й строки. Период равен 4.

Последняя цифра числа 3^n равна:

1: n = 4k, где k = 0,1,2,3,...

3: n = 4k + 1, где k = 0,1,2,3,...

9: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,3,...

7: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,3,...

Находим, что 3^2003 = (3^2000)*(3^3) = (3^(500*4))*(3^3) ~ 1*7 = 7

Итак, N = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003)) ~ 8(1 + 7 + 8*8) = 8 + 8*7 + 8*8*8 = 8 + 56 + 512 ~ 8 + 6 + 2 = 16 ~ 6

ответ: последней цифрой нашего числа будет 6.

Замечание: Разница между предложенным Вами и моим вариантом заключается в том, что я не исследовал степени чисел 12, 26 и 38 либо чисел 2, 6 и 8. Я рассматривал только степени чисел 2 и 3, что, как мне кажется, значительно проще.