1. Математика
  2. Нужно решить 2 диф. уравнения

Нужно решить 2 диф. уравнения (не система, отдельно) e^(-y) * (1 + dy/dx) = 1
y' = (x+y)/(x-y)

rom4ik227232245 rom4ik227232245    2   28.05.2021 12:54    0

Ответы
lavira3 lavira3  27.06.2021 12:55

1.

{e}^{ - y} (1 + y') = 1 \\ 1 + y' = \frac{1}{ {e}^{ - y} } \\ 1 + y'= e {}^{y} \\ \frac{dy}{dx} = {e}^{y} - 1 \\ \int\limits \frac{dy}{e {}^{y} - 1 } = \int\limits \: dx \\ \\ \\ \int\limits \frac{dy}{e {}^{y} - 1 } \\ \\ {e}^{y} - 1 = t \\ e {}^{y} dy = dt \\ dy = \frac{dt}{e {}^{y} } = \frac{dt}{t + 1} \\ \\ \int\limits \frac{dt}{t(t + 1)} \\ \\ \frac{1}{t(t + 1)} = \frac{a}{t} + \frac{b}{t + 1} \\ 1 = a(t + 1) + bt \\ 1 = at + a + bt \\ \\ 1 = a \\ 0 = a + b \\ \\ a = 1\\ b = - 1 \\ \\ \\ \int\limits \frac{dt}{t} - \int\limits \frac{dt}{t + 1} = \\ = ln( |t| ) - ln( |t + 1| ) + C= \\ = ln( | {e}^{y} - 1| - ln( | {e}^{y} | ) + C= \\ = ln( | {e}^{y} - 1 | ) - 1 + C \\ \\ \\ \\ ln( | {e}^{y} - 1 | ) - 1 = x + C

общее решение

2.

y' = \frac{x + y}{x - y} \\ y' = \frac{1 + \frac{y}{x} }{1 - \frac{y}{x} }

- однородное ДУ

Замена:

\frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u

u'x + u = \frac{1 + u}{1 - u} \\ \frac{du}{dx} x = \frac{1 + u - u(1 - u)}{1 - u} \\ \frac{du}{dx} x = \frac{1 + u - u + u {}^{2} }{1 - u} \\ \int\limits \frac{1 - u}{u {}^{2} + 1 } du = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{du}{u {}^{2} + 1 } - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2udu}{u {}^{2} + 1} = ln( |x| ) + C \\ arctgu - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {u}^{2} + 1) }{u {}^{2} + 1 } = ln( |x| ) + C \\ arctgu - \frac{1}{2} ln( | {u}^{2} + 1| ) = ln( |x| ) + C \\ arctg \frac{y}{x} - \frac{1}{2} ln( | \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + 1 | ) = ln( |x| ) + C

общее решение

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
kotuk333 kotuk333  22.09.2019 12:20
Дана таблица 3 на 3. даны числа - 1,0,1. расставьте числа так, чтобы они не встречались горизонтальнот, вертикально и наискосок....
marda69 marda69  22.09.2019 11:16
Решите номер 1а, номер 2а и номер 3а ​...
aliyeva02 aliyeva02  22.09.2019 12:20
Если пешеход из пункта а в пункт б будет идти со скоростью 3 км в ч он опоздает на 45 минут, а если будет идти со скоростью 4 км в ч, то придёт раньше на 15 минут. найдите...
Molyaneya Molyaneya  22.09.2019 12:20
1) найти полный дифференциал функции двух переменных. z=y^3*arctg2x 2) исследовать функцию двух переменных на экстремум. z=3x^2+6x+y^2-4y+3...
zhannursadykbek zhannursadykbek  22.09.2019 11:12
Найдите наименьшее общее кратное чисел 1) 16 и 32 . 2)15 и 8. 3)16 и 12...
Fltkbyf2017 Fltkbyf2017  22.09.2019 12:20
B=4 найдите расстояние от точки b до -2...
SuperChelovek SuperChelovek  22.09.2019 12:20
Миша каждый день решал по3 сколько решал неделю...
saahmetovakarina saahmetovakarina  22.09.2019 12:20
Занятия в школе начинаются в 8 ч 30 мин урок длится 40 мин перемена 10 мин во сколько закончится четвёртый урок ?...
НВТула НВТула  22.09.2019 12:20
Напишите решение к : в коробке 10 красных, 12 синих и 8 зелёных карандашей. наугад достают один карандаш. какова вероятность того, что он окажется красным? ответ округлите...
АнгелКрови АнгелКрови  22.09.2019 11:10
Для изготовления 16 одинаковых колец требуется 1,36 кг метала. сколько кг метала потребуется для изготовления колец? 30...

Популярные вопросы