Нужно исследовать функцию с производной и построить её график.

а) y=2+3x-x³

б) y=x⁴-2x²+2

ДАНО: Y(x) = -x⁴ +2*x² + 1.

ИССЛЕДОВАНИЕ:

Описание ГЛАЗАМИ: Функция четвертого порядка с отрицательным коэффициентом - примерно парабола и ветви вниз. Должно быть четыре корня.

1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.  

D(x) = R = (-∞;+∞)

2. Корни функции: х₁ = - 1,55 и х₃ =  1,55.

Двух других нет. Нахождение самих корней - без комментариев.

3. Интервалы знакопостоянства (дополнительно к таблице).

Отрицательна: Y<0  X∈(-∞;-1.5)∪(1.55;+∞) - вне корней.

Положительна: Y>0   X∈(-1.55; 1.55) - между корнями.

4. Поиск экстремумов по первой производная функции .

Y'(x) = -4*х³ + 4*ч = 4*x*(1-x²) = 0

Точки экстремумов: x₅ = - 1, x₆ = 0, x₇ = 1

5 Локальные экстремумы:

Ymin(0) = 1 ,  Ymax(-1) = У(1) = 2

6. Интервалы монотонности.

Возрастает: Х∈(-∞;-1)∪(0;1)  убывает: Х∈(-1;0)∪(1;+∞)

7, Поиск точек перегиба по второй производной

Y"(x) = -12*x² +4 = 0

x₈ = - √3/3  и х₉ = √3/3 - точки перегиба.

8. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞;-√3/3)∪(√3/3;+∞) .

Вогнутая - "ложка" - Х∈(-√3/3);(√3/3)

График на рисунке  в приложении.