Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОY и OZ углы b = 60° и g = 45°, а с осью ОХ - тупой угол. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние р от начала координат до неё равно 8 единицам. Найти расстояние от точки A (1; -1; 3*корень из 2 ) до построенной плоскости.

Для составления уравнения плоскости нам необходимо знать координаты точки на плоскости и нормаль к этой плоскости.

У нас уже есть некоторая информация о нормали к плоскости. Мы знаем, что она составляет углы b = 60 градусов с координатной осью OY и угол g = 45 градусов с осью OZ, а также, что с осью ОХ угол тупой.

Поскольку нам известно, что угол с ОХ - тупой, мы можем предположить, что нормаль к плоскости находится во второй четверти координатной плоскости. Мы можем обозначить эту нормаль как вектор n = (nx, ny, nz).

Теперь нам нужно найти значений nx, ny, nz.

Угол b = 60 градусов между нормалью и осью OY позволяет нам составить соотношение cos(b) = ny / ||n||, где ||n|| - длина вектора n.

Угол g = 45 градусов между нормалью и осью OZ позволяет нам составить соотношение cos(g) = nz / ||n||.

Учитывая, что у нас тупой угол между нормалью и осью ОХ, мы можем записать соотношение cos(180° - t) = nx / ||n||, где t - угол между нормалью и осью ОХ.

Поскольку cos(180° - t) = - cos(t), мы можем записать соотношение следующим образом: - cos(t) = nx / ||n||.

Теперь у нас есть система из трёх уравнений. Мы можем использовать эти уравнения для нахождения значений nx, ny, nz.

Произведём подстановку nx = ||n|| * ( - cos(t)) в два первых уравнения системы и решим получившуюся систему уравнений:

cos(b) = ny / ||n|| --> ny = ||n|| * cos(b)
cos(g) = nz / ||n|| --> nz = ||n|| * cos(g)

Подставляем выражения для ny и nz в третье уравнение системы:

- cos(t) = nx / ||n||

nx = ||n|| * (-cos(t))

Теперь приступим к решению получившейся системы уравнений.

nx = ||n|| * (-cos(t))

Из третьего уравнения получаем, что nx = -||n|| * cos(t).

Подставляем данное выражение в систему с остальными уравнениями:

cos(b) = ny / ||n|| --> ny = ||n|| * cos(b)
cos(g) = nz / ||n|| --> nz = ||n|| * cos(g)

ny = -||n|| * cos(t) * tan(b)
nz = -||n|| * cos(t) * tan(g)

Поэтому уравнение плоскости имеет вид:

-||n|| * cos(t) * x + ||n|| * cos(b) * y + ||n|| * cos(g) * z + d = 0,

где d - это некоторая константа, а t - угол между нормалью и осью ОХ.

Теперь пошагово найдем значение d и конечное уравнение плоскости.

Расстояние r от начала координат до плоскости равно 8. Мы также можем использовать это уравнение для нахождения значения d.

d = -||n|| * cos(t) * 0 + ||n|| * cos(b) * 0 + ||n|| * cos(g) * 0 + 8.

Поскольку все слагаемые, кроме единиц, равны нулю, мы можем упростить выражение:

d = 8.

Таким образом, уравнение плоскости принимает следующий вид:

-||n|| * cos(t) * x + ||n|| * cos(b) * y + ||n|| * cos(g) * z + 8 = 0.

Теперь давайте найдем расстояние от точки A (1, -1, 3*корень из 2) до построенной плоскости.

Расстояние между точкой и плоскостью можно найти с помощью формулы:

d = |Ax * nx + Ay * ny + Az * nz + d| / sqrt(nx^2 + ny^2 + nz^2),

где Ax, Ay, Az - координаты точки A.

Подставляем значения из условия:

Аx = 1, Ay = -1, Az = 3*корень из 2.

nx = ||n|| * (-cos(t))
ny = ||n|| * cos(b)
nz = ||n|| * cos(g)
d = 8.

Подставляем значения в формулу:

d = |1 * (||n|| * (-cos(t))) + (-1) * (||n|| * cos(b)) + 3*корень из 2 * (||n|| * cos(g)) + 8| / sqrt((||n|| * (-cos(t)))^2 + (||n|| * cos(b))^2 + (||n|| * cos(g))^2).

Упрощаем выражение:

d = |(-||n|| * cos(t)) - (||n|| * cos(b)) + 3*корень из 2 * (||n|| * cos(g)) + 8| / sqrt(((-||n|| * cos(t)))^2 + (||n|| * cos(b))^2 + (||n|| * cos(g))^2).

Сокращаем некоторые слагаемые:

d = |(-||n|| * cos(t)) - (||n|| * cos(b)) + 3*корень из 2 * (||n|| * cos(g)) + 8| / sqrt(||n||^2 * cos(t)^2 + ||n||^2 * cos(b)^2 + ||n||^2 * cos(g)^2).

Мы имеем уравнение плоскости и формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. Теперь остается только численно посчитать значения.