Необходимо найти общее решение полного дифференциального уравнения.
(5xy^2-x^3)dx+(5x^2y-y)dy=0

ответ: 5/2*x²*y²-1/4*x⁴-1/2*y²=C.

Пошаговое объяснение:

Запишем данное уравнение в виде P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0, где P(x,y)=5*x*y²-x³, Q(x,y)=5*x²*y-y. Так как (dP/dy)=(dQ/dx)=10*x*y (здесь (dP/dy) и (dQ/dx) -частные производные), то левая часть уравнения действительно представляет собой полный дифференциал du неизвестной функции u(x,y). Но так как du=(du/dx)*dx+(du/dy)*dy, то P(x,y)=(du/dx) и Q(x,y)=(du/dy). Решая уравнение P(x,y)=(du/dx)=5*x*y²-x³, находим u(x,y)=∫(5*x*y²-x³)*dx=5/2*x²*y²-1/4*x⁴+f(y), где f(y) - неизвестная функция от y. Дифференцируя это выражение по y и приравнивая его к Q(x,y), получаем уравнение (du/dy)=5*x²*y+f'(y)=5*x²*y-y, или f'(y)=-y. Отсюда f(y)=-∫y*dy=-1/2*y².Тогда u=5/2*x²*y²-1/4*x⁴-1/2*y², а так как du=0, то u=C, где C - произвольная постоянная. Отсюда 5/2*x²*y²-1/4*x⁴-1/2*y²=C - решение данного уравнения.