Назовём натуральное число хорошим, если все цифры, входящие в его запись, повторяются в ней хотя бы дважды (например, 1522521 — хорошее, 1522522 — нет). сколько существует семизначных хороших чисел без нуля в записи?

"Хорошее" семизначное число -  цифры, входящие в его запись, повторяются в ней хотя бы дважды

Возможные варианты:

1)  все число состоит из одинаковых цифр
1111111, 2222222, ..., 9999999
Всего 9 чисел.

2) В записи числа участвуют    a,a,a,a,a,b,b, причем a и b - различны.
Пусть первая цифра b занимает в числе последовательно позицию K от первой до шестой, а вторая цифра b располагается за ней, занимая позицию от (K+1) до 7.
Тогда возможное количество таких расположений цифр в семизначном числе
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21
Остальные позиции в числе занимают цифры a.
Число a может быть любой цифрой от 1 до 9 (9 вариантов), цифра b может быть любой цифрой, кроме занятой a (8 вариантов)
Таким образом, чисел вида 5+2 будет
21 * 8 * 9 = 1512

3) В записи числа участвуют    a,a,a,a,b,b,b, причем a и b - различны
Пусть первая цифра b занимает в числе последовательно позицию K от первой до пятой, вторая цифра b располагается за ней, занимая позицию N от (K+1) до шестой, а третья цифра b располагается за второй, занимая позицию от (N+1) до 7.
Тогда возможное количество таких расположений цифр b в семизначном числе
(b)    5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 
(ab)      + 4 + 3 + 2 + 1 +
(aab)           + 3 + 2 + 1 +
(aaab***)                 + 2 + 1 +
(bbb)                     + 1 =   35
Число a может быть любой цифрой от 1 до 9 (9 вариантов), цифра b может быть любой цифрой, кроме занятой a (8 вариантов)
Таким образом, чисел вида 4+3 будет
35 * 8 * 9 = 2520

4) В записи числа участвуют    b,b,b,a,a,d,d, причем a,b и d - различны
Возможное количество расположений цифр b в числе - 35 (см п.3).
На четырех оставшихся местах каждого числа цифры a и d могут располагаться так:
aadd   adad   adda   daad   dada   ddaa  -  всего 6 вариантов.

Число b может быть любой цифрой от 1 до 9 (9 вариантов), цифра a может быть любой цифрой, кроме занятой b (8 вариантов), цифра d может быть любой цифрой, кроме занятой b и a (7 вариантов), 
Таким образом, чисел вида 3+2+2 будет
35 * 6 * 7 * 8 * 9 = 105840

Итого "хороших" семизначных чисел без нуля в записи
9 + 1512 + 2520 + 105840 = 109881