Найти явный вид ап , заданного НЛРС: an+1 +an = 6аn+2 + 5, ao = 1, а1 = 5.

Добрый день! Давайте вместе разберем ваш вопрос.

У вас есть НЛРС (нелинейное рекуррентное соотношение):
an+1 + an = 6an+2 + 5,

где начальные значения ao = 1 и а1 = 5.

Чтобы найти явный вид последовательности, нам нужно сначала найти характеристическое уравнение этого НЛРС.

1. Характеристическое уравнение:

Для нашего НЛРС характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 - r - 6 = 0.

2. Решаем характеристическое уравнение:

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта или разложением на множители. В данном случае, разложение на множители проще:

(r - 3)(r + 2) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных значения корней: r1 = 3 и r2 = -2.

3. Находим общий вид последовательности:

Согласно основной теореме о решении рекуррентных соотношений, общий вид последовательности может быть задан следующим образом:

an = A * r1^n + B * r2^n,

где A и B - константы, которые нужно определить, а r1 и r2 - корни характеристического уравнения.

4. Находим константы A и B:

Используя начальные значения ao = 1 и а1 = 5, мы можем подставить их в общий вид последовательности и решить систему уравнений для определения констант A и B.

a0 = A * r1^0 + B * r2^0 = A * 1 + B * 1 = A + B = 1,
a1 = A * r1^1 + B * r2^1 = A * 3 + B * (-2) = 5.

Решаем эту систему уравнений:

A + B = 1, (1)
3A - 2B = 5. (2)

Мы можем решить эту систему уравнений, используя методы решения систем линейных уравнений, например, метод замещения или метод сложения.

Давайте решим эту систему уравнений методом замещения. Решим уравнение (1) относительно A:

A = 1 - B.

Подставим это выражение в уравнение (2):

3(1 - B) - 2B = 5,

3 - 3B - 2B = 5,

-5B = 2,

B = -2/5.

Теперь, найдем значение A, подставив B в уравнение (1):

A + (-2/5) = 1,

A = 1 + 2/5 = 7/5.

Таким образом, мы нашли значения для констант A и B: A = 7/5 и B = -2/5.

5. Находим явный вид последовательности:

Теперь, мы можем подставить значения A и B в общий вид последовательности:

an = (7/5) * 3^n + (-2/5) * (-2)^n.

Таким образом, явный вид последовательности будет:

an = (7/5) * 3^n + (2/5) * (-2)^n.

Вот и все! Мы нашли явный вид последовательности для данного НЛРС.