Найти высоту конуса наименьшего объема вписанного в шар радиуса 5 м​

Для решения данной задачи, нужно вспомнить некоторые свойства геометрических фигур.

Во-первых, у конуса всегда есть основание – это круг. У шара тоже есть основание – это его внутренняя поверхность. У нас есть вписанный конус, значит его основание касается внутренней поверхности шара в одной точке.

Во-вторых, можем заметить, что когда мы ставим конус внутри шара и одно из оснований касается шара, то если мы обозначим высоту этого конуса как h и обозначим расстояние от вершины конуса до центра шара как r (в данном случае r = 5 м), то получим прямоугольный треугольник между вершиной конуса, его основанием и центром шара.

Далее, нам необходимо использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае гипотенуза – это r (радиус шара), а катеты – это расстояние от вершины конуса до центра шара (h) и расстояние от основания конуса до центра шара (r).

Итак, посчитаем значения катетов в данной задаче. Для этого представим, что мы "разрезаем" конус по его высоте. Получится прямоугольный треугольник, в котором один катет – это r, а гипотенуза – это r + h​.

Теперь применим теорему Пифагора:

(r + h)² = r² + h²
r² + 2rh + h² = r² + h²

Здесь все квадраты сократились. Остается:

2rh = r²

Далее решим эту формулу относительно h, чтобы найти высоту конуса.

2rh - r² = 0
r(2h - r) = 0

Так как r ≠ 0, то поделим обе части уравнения на r:

2h - r = 0
2h = r

Отсюда можно найти h:

h = r/2
h = 5/2
h = 2.5 м

Таким образом, высота конуса наименьшего объема, вписанного в шар радиуса 5 м, равна 2.5 метра.