1. Математика
  2. Найти высоту конуса наименьшего

Найти высоту конуса наименьшего объема,описанного около полушара радиуса r (цент основания конуса лежит в центре основания шара)

Toktorovaskar Toktorovaskar    3   06.06.2019 13:20    6

Ответы
БарсукВася БарсукВася  06.07.2020 17:20

Дан полушар  с радиусом  R = OC    и   описанный около  него конус  с радиусом  основания  r = OA   и высотой  h = OM.

Построим сечение конуса по диаметру основания :  ΔAMB

OM - высота конуса   ⇒   ΔAMO - прямоугольный. Пусть ∠OMK=α

OK⊥AM  -  как радиус шара в точку касания с конусом  ⇒  ΔOKM - прямоугольный.  По отношению сторон прямоугольного треугольника : h = OM = \dfrac{OK}{\sin \angle OMK}=\dfrac R{\sin\alpha }

По отношению сторон прямоугольного треугольника ΔAMO:

r = OA = OM\cdot tg \angle OMK=\dfrac R{\sin\alpha }\cdot \dfrac {\sin\alpha}{\cos\alpha }=\dfrac R{\cos\alpha}

Тогда объём конуса по формуле

V = \dfrac 13\cdot \pi r^2h=\dfrac { \pi}3 \cdot \dfrac{R^2}{\cos^2\alpha}\cdot \dfrac{R}{\sin\alpha}=\dfrac{\pi R^3}{3\cos^2\alpha~\sin\alpha}\\ \\ \\ V=\dfrac{\pi R^3}{3(1-\sin^2\alpha)\sin\alpha}=\dfrac{\pi R^3}{3(\sin\alpha-\sin^3\alpha)}

Объём конуса, выраженный дробью, будет наименьшим, когда знаменатель будет наибольшим.

Наибольшее значение функции в знаменателе можно найти через производную.

f (α) = sin α - sin³ α    

f'(α) = (sin α - sin³ α)' = 0

cos α - 3 sin² α cos α = 0

cos α (1 - 3 sin²α) = 0

1) cos α = 0    ⇒    α = 90°  -  не подходит по условию  (угол при вершине сечения не может быть равен  180°).

1 - 3 sin²α = 0    ⇒    \sin^2\alpha =\dfrac 13    ⇒

\sin\alpha =\dfrac 1{\sqrt 3}  - только положительное значение корня, так как отрицательным угол при вершине конуса быть не может.

Высота конуса  h = \dfrac R{\sin\alpha }=R:\dfrac 1{\sqrt3}=\sqrt3R

ответ:  \boldsymbol{h = \sqrt3R}

=======================================

f(\alpha) = \sin \alpha - \sin^3\alpha =\dfrac 1{\sqrt3}-\dfrac 1{3\sqrt3}=\dfrac 2{3\sqrt3}

Наименьший объём описанного конуса с высотой  h=√3 R

V =\dfrac{\pi R^3}{3(\sin\alpha-\sin^3\alpha)}=\dfrac{\pi R^3}{3\Big(\dfrac2{3\sqrt3}\Big)}=\dfrac{\sqrt3}2\cdot \pi R^3


Найти высоту конуса наименьшего объема,описанного около полушара радиуса r (цент основания конуса ле
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
vafla3121 vafla3121  19.04.2020 13:45
Апамыдың жылқысы бар 750000 тг сатам дейді оған үш жігіт 250000 тг қосып 750000 тг жылқыны сатып алады өте қымбат бағаға сатып қойдым ау деп немересін шақырып алып...
annashevelina annashevelina  19.04.2020 13:45
ОЧЕНЬ ДАМ 100 Б! ЗА ВИПОЛНЕНЫЕ ЗАДАНИЯ С ОБЪЯСНЕНИЯМИ!+ ОТМЕЧУ КАК ЛУЧШЕЕ И ПОСТАВЛЮ МАКС. БАЛЫ! 1) Найдите площадь полной поверхности цилиндра, диагональ осевого сечения...
ногнео ногнео  19.04.2020 13:45
Сколько будет 1 2 3 4 5 6 7=40​...
Anrehah Anrehah  19.04.2020 13:45
Из указанных выберите квадратные уравнения.​...
Kseniapinzari12 Kseniapinzari12  19.04.2020 13:45
13. Найдите корень уравнения: 50 – 2 • х = 26. 1) х = 48; 2) х = 38; 3) х = 12; 4) х = 37....
МарианМариан МарианМариан  19.04.2020 13:45
Свойства прямоугольных треугольников, в которых есть угол в 30° или 45°....
dashamaer2 dashamaer2  19.04.2020 13:45
Сколько будет 1 2 3 4 5 6 7=40Там разделиться,делить,умножать,​...
KatinaDobet2006 KatinaDobet2006  19.04.2020 13:44
Найти куб разности чисел 18 и 21...
Азот11 Азот11  19.04.2020 13:44
Оставить старшие члены и в числителе, и в знаменателе...
1505123Diana1505123 1505123Diana1505123  08.04.2020 18:15
а то у меня будет неравный срыв. 1. Раскройте скобки в выражении и у его: 1) (а-8,4) + (3-а); 2) (16-b) - (8-b). 2. Все слагаемые данной суммы заключите в скобки, поставив...

Популярные вопросы