Найти все значения положительного параметра а, при которых система имеет а) 4 решения;
б) 2 решения;
в) ни одного решения.

{ |x|+|y|+|x+y| = 4 корень 2
{ x²+y² =a²

а) 4 решения при 2 < a < 4; б) 2 решения при a = 2 и a = 4; в) нет решений при 0 < a < 2 и a > 4.

Пошаговое объяснение:

Будем решать систему уравнений графически — изобразив решение каждого уравнения на чертеже.

Заметим, что уравнение переходит само в себя при замене местами x и y, а также при одновременной смене знаков x и y. Значит, достаточно изобразить решения уравнения только в отмеченной четверти, остальное получится отражениями.

В отмеченной четверти y ≥ 0, x + y ≥ 0, так что два из трёх модулей раскрываются без проблем: |y| = y, |x + y| = x + y. Остаётся рассмотреть два случая:

1) x ≥ 0, |x| = x

x + y + x + y = 4√2

x + y = 2√2

Это уравнение прямой, проходящей через точки (0, 2√2) и (2√2, 0)

2) x ≤ 0, |x| = -x

-x + y + x + y = 4√2

y = 2√2

Тут просто прямая, параллельная оси x

Отразив график относительно диагоналей, получаем кривую, изображённую на рисунке 2 красным цветом.

x² + y² = a² — уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом a.

Начнём постепенно увеличивать a:

- Сначала, пока радиус меньше радиуса синей окружности, корней (точек пересечения красной кривой с окружностью) нет.

- Когда радиус окружности равен радиусу синей окружности, 2 корня

- Когда окружность между синей и зелёной, будет 4 пересечения

- Для зеленой окружности есть только две точки пересечения

- Для радиусов, больших радиуса зелёной окружности, точек пересечения нет.

Осталось найти радиусы синей и зеленой окружности, чтобы решить задачу.

Синяя окружность

Можно пойти двумя путями — или найти условие касания x² + y² = a² и x + y = 2√2 "честно", или просто догадаться, что точка касания — это (√2, √2).

Подставляем точку касания в уравнение окружности и находим a:

2 + 2 = a²

a = 2  

Зеленая окружность

Зелёной окружности принадлежит точка (-2√2, 2√2). Подставляем в уравнение окружности:

8 + 8 = a²

a = 4