Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z=xy которая перпендикулярна прямой (х+2)/2=(y+2)/=(z-1)/-1

Для нахождения уравнения касательной плоскости к поверхности z=xy, мы должны использовать следующие шаги: Шаг 1: Найдем уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Для этого нам понадобится найти направляющий вектор прямой. Обратим внимание, что у прямой дано ее направление в виде дроби. Для удобства мы можем представить ее в виде: (x+2)/2 = (y+2)/1 = (z-1)/(-1) Чтобы найти направляющий вектор, мы можем взять коэффициенты при x, y и z: a = 1/2 b = 1 c = -1 Таким образом, направляющий вектор прямой будет равен: V = <1/2, 1, -1> Шаг 2: Найдем нормальный вектор плоскости. Учитывая, что поверхность z=xy, давайте найдем его градиент. Градиентом функции z = f(x, y) является вектор, состоящий из частных производных функции по x и y. dz/dx = y dz/dy = x Поэтому нормальный вектор будет равен: N = Шаг 3: Найдем точку, через которую проходит плоскость. Для этого воспользуемся прямой, через которую должна проходить плоскость. Прямая задана уравнением: (x+2)/2 = (y+2)/1 = (z-1)/(-1) Если мы выберем значения x, y и z, соответствующие этому уравнению, мы получим точку, через которую проходит прямая и плоскость: (x+2)/2 = (y+2)/1 = (z-1)/(-1) Давайте возьмем x = 0, y = 0 и z = 3, чтобы получить точку P(0, 0, 3). Шаг 4: Запишем уравнение плоскости, используя точку, через которую проходит плоскость, и нормальный вектор: N · (P - R) = 0 где N - нормальный вектор, P - точка, через которую проходит плоскость, R - точка на плоскости. Нормальный вектор N = = <0, 0, -1> Точка P(0, 0, 3) Пусть R(x, y, z) Подставим данные значения в уравнение плоскости: <0, 0, -1> · (P - R) = 0 <0, 0, -1> · (0 - x, 0 - y, 3 - z) = 0 -1(3 - z) = 0 3 - z = 0 z = 3 Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку P(0, 0, 3), будет: z = 3 Шаг 5: Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого приравняем уравнение плоскости и уравнение прямой: xy = 3 Теперь мы можем найти значения x и y, соответствующие точке пересечения. Шаг 6: Найдем уравнение касательной плоскости, перпендикулярной прямой. Уравнение касательной плоскости будет иметь вид: z = z_0 + a(x - x_0) + b(y - y_0) где z_0 – значение функции z в точке пересечения, а a и b – производные функции z по x и y соответственно. (x_0, y_0) – координаты точки пересечения, которые мы найдем в предыдущем шаге. Нам нужно найти производные функции z по x и y: ∂z/∂x = y ∂z/∂y = x В точке пересечения (x_0, y_0), значения x и y равны: xy = 3 Подставим это в производные: ∂z/∂x = y_0 ∂z/∂y = x_0 Теперь у нас есть значения a и b: a = y_0 b = x_0 Таким образом, уравнение касательной плоскости будет: z = z_0 + y_0(x - x_0) + x_0(y - y_0) где (x_0, y_0, z_0) – координаты точки пересечения. Конкретные значения (x_0, y_0, z_0), а также уравнение плоскости могут быть найдены только после выполнения шагов 5 и 6.