Найти точки экстремула заданной функцией и определить их характер: y=x в кубе-27x+26

f(x) = x³ - 27x + 26

f ' (x) = 3x² - 27

исследуем на монотонность:

функция 3x² - 27 возрастает на промежутке:(-бесконечность; -3) U (3;+бесконечность)

убывает на промежутке: (-3;3)

отсюда точки экстремума: максимум = -3

минимум = 3

т.е при точке = -3 функция принимает максимальное значение отсюда и максимум!

при точке = 3 функция принимает наименьшее значение отсюда и минимум!

Добрый день! Конечно, я помогу вам с решением задачи.

В данной задаче требуется найти точки экстремума заданной функции y = x^3 - 27x + 26 и определить их характер.

1. Для начала, найдем производную функции y по переменной x. Пусть первоначальная функция y = x^3 - 27x + 26. Имя другого лишь дифференцируем данную функцию, y' будет равна производной.

y' = (3x^2) - 27.

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, так как точки экстремума это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Поставим y' равное нулю и решим полученное уравнение:

(3x^2) - 27 = 0.

3. Перенесем -27 на другую сторону уравнения:

3x^2 = 27.

4. Разделим обе части уравнения на 3:

x^2 = 9.

5. Возведем обе части уравнения в квадрат:

x^2 = 3^2.

6. Возьмем корень из обеих частей уравнения:

x = ±3.

7. Получили две точки экстремума: x₁ = -3 и x₂ = 3.

Теперь, чтобы определить характер точек экстремума, рассмотрим знак производной в окрестности каждой точки:

a) Для точки x = -3 проверим знак производной в интервале (-∞, -3) и (-3, +∞).

Заменим производную y' = (3x^2) - 27 на значение x = -4:

y' = (3(-4)^2) - 27 = 48 > 0.

Знак производной в окрестности точки x = -3 положительный. Значит, в данной точке функция имеет локальный минимум.

б) Для точки x = 3 проверим знак производной в интервале (-∞, 3) и (3, +∞).

Заменим производную y' = (3x^2) - 27 на значение x = 2:

y' = (3(2)^2) - 27 = -3 < 0.

Знак производной в окрестности точки x = 3 отрицательный. Значит, в данной точке функция имеет локальный максимум.

Таким образом, точка x = -3 является локальным минимумом, а точка x = 3 - локальным максимумом.

Аналогично можно сказать, что значение y при x = -3 равно y = 35, а при x = 3 равно y = -35.

Выберите то решение, которое на ваш взгляд наиболее подходит для вашего уровня и представьте его школьнику, чтобы он смог легко понять предмет задачи.