Математика: Найти стационарные точки функции двух переменных [tex]z=2x^3+xy^2+5x^2+y^2[/tex]

Найти стационарные точки функции двух переменных $z=2x^3+xy^2+5x^2+y^2$

Ответы

nnfilinaaaa 16.01.2024 10:57

Чтобы найти стационарные точки функции двух переменных, нам необходимо найти значения переменных, при которых производные по обеим переменным равны нулю.

Для начала, мы найдем производную функции по переменной x. Для этого возьмем производную каждого слагаемого функции отдельно и сложим результаты:
$\frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(2x^3+xy^2+5x^2+y^2) = \frac{{d}}{{dx}}(2x^3) + \frac{{d}}{{dx}}(xy^2) + \frac{{d}}{{dx}}(5x^2) + \frac{{d}}{{dx}}(y^2)$

Производная слагаемого 2x^3 равна:
$\frac{{d}}{{dx}}(2x^3) = 6x^2$

Производная слагаемого xy^2 равна:
$\frac{{d}}{{dx}}(xy^2) = y^2$

Производная слагаемого 5x^2 равна:
$\frac{{d}}{{dx}}(5x^2) = 10x$

Производная слагаемого y^2 по x равна нулю, так как y^2 не содержит переменной x.

Таким образом, получаем:
$\frac{{dz}}{{dx}} = 6x^2 + y^2 + 10x$

Теперь найдем производную функции по переменной y. Аналогично, возьмем производную каждого слагаемого функции отдельно и сложим результаты:
$\frac{{dz}}{{dy}} = \frac{{d}}{{dy}}(2x^3+xy^2+5x^2+y^2) = \frac{{d}}{{dy}}(2x^3) + \frac{{d}}{{dy}}(xy^2) + \frac{{d}}{{dy}}(5x^2) + \frac{{d}}{{dy}}(y^2)$

Производная слагаемого 2x^3 по y равна нулю, так как x^3 не содержит переменной y.
Производная слагаемого xy^2 равна:
$\frac{{d}}{{dy}}(xy^2) = 2xy$

Производная слагаемого 5x^2 по y равна нулю, так как x^2 не содержит переменной y.

Производная слагаемого y^2 равна:
$\frac{{d}}{{dy}}(y^2) = 2y$

Таким образом, получаем:
$\frac{{dz}}{{dy}} = 2xy + 2y$

Теперь нам нужно приравнять обе производные к нулю:
$6x^2 + y^2 + 10x = 0$
$2xy + 2y = 0$

Перепишем второе уравнение в виде:
$2y(x+1) = 0$

Из этого уравнения следует, что одно из условий для стационарной точки - y = 0 или (x+1) = 0.

Если y = 0, тогда первое уравнение примет вид:
$6x^2 + 10x = 0$

Делаем общий множитель:
$2x(3x + 5) = 0$

Из этого уравнения следует, что x = 0 или x = -5/3.

Если (x+1) = 0, тогда получаем, что x = -1.

Таким образом, стационарные точки функции двух переменных $z=2x^3+xy^2+5x^2+y^2$ равны:
1. x = 0, y = 0
2. x = -5/3, y = 0
3. x = -1, любое значение y.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика