Найти производную z=ln(x^2+y^2) в точке М(3,4) в направлении градиента z в точке М

Добрый день! Давайте разберемся с вашим вопросом.

Чтобы найти производную функции z=ln(x^2+y^2), мы будем использовать градиент. Градиент функции — это вектор, который указывает направление наибольшего изменения функции в данной точке.

Сначала найдем градиент функции z=ln(x^2+y^2). Градиент в данном случае будет вектором, составленным из производных функции по каждой переменной. Для этого мы возьмем производные функции по x и y, затем соберем их в вектор.

Производная по x:
dz/dx = (2x)/(x^2+y^2)

Производная по y:
dz/dy = (2y)/(x^2+y^2)

Теперь вычислим значения производных в точке М(3,4):

dz/dx = (2*3)/(3^2+4^2) = 6/25 = 0.24

dz/dy = (2*4)/(3^2+4^2) = 8/25 = 0.32

Таким образом, градиент в точке М(3,4) будет вектором (∂z/∂x, ∂z/∂y) = (0.24, 0.32).

Теперь мы можем найти производную z=ln(x^2+y^2) в точке М(3,4) в направлении градиента z в точке М. Этот процесс осуществляется с помощью скалярного произведения векторов градиента и направления.

Скалярное произведение градиента и направления можно найти следующим образом:

dz/ds = ∂z/∂x * dx/ds + ∂z/∂y * dy/ds

где dz/ds - искомая производная z в направлении градиента, dx/ds и dy/ds - составляющие направления.

Учитывая, что направление градиента z в точке М(3,4) равно (0.24, 0.32), можем перейти к решению:

dz/ds = 0.24 * dx/ds + 0.32 * dy/ds

Теперь нам нужно найти составляющие направления dx/ds и dy/ds. Для этого рассмотрим координаты точки M(3,4) и координаты направления.

Пусть направление задано вектором (a,b). Тогда dx/ds=a и dy/ds=b.

Итак, с учетом наших значений dx/ds=a и dy/ds=b мы можем записать искомую производную:

dz/ds = 0.24 * a + 0.32 * b

Таким образом, чтобы найти производную z=ln(x^2+y^2) в точке М(3,4) в направлении градиента z в точке М, нужно вычислить выражение 0.24 * a + 0.32 * b, где a и b — соответствующие координаты направления.