Найти производную!tg y = (4y-5x)

ответ:  y'=-5(cos²y/(1-4cos²y))

Пошаговое объяснение:

берем производную от обеих частей, не забывая, что х - аргумент, а у -функция.

(1/сos²y)*y'=4*y' -5

(1/сos²y)*y'-4*y'= -5

y'=*((1/сos²y)-4)=-5

y'=-5(cos²y/(1-4cos²y))

Для нахождения производной функции tg y = (4y - 5x) по переменной x будем использовать правило дифференцирования тригонометрической функции. Для этого нужно выразить y через x и затем продифференцировать полученное выражение.

1. Перепишем уравнение tg y = (4y - 5x) в виде: y = (1/4)tg y + (5/4)x.

2. Возьмем производную от обеих частей уравнения по переменной x. При дифференцировании правой части учтем, что tg y является функцией y, а x - независимой переменной. Получим:

dy/dx = d/dx [(1/4)tg y + (5/4)x].

3. Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, используя правила дифференцирования:

dy/dx = (1/4)d/dx(tg y) + (5/4)d/dx(x).

4. Чтобы продифференцировать первое слагаемое, воспользуемся цепным правилом дифференцирования. Для этого посчитаем производную (tg y) по y и умножим ее на производную y по x. Получим:

dy/dx = (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx + 5/4.

5. Продифференцируем второе слагаемое, учтя, что x является независимой переменной. Получим:

dy/dx = (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx + 5/4 + 5/4.

6. Выразим dy/dx, переместив первое слагаемое налево и сложив числители дробей:

dy/dx - (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx = 10/4.

7. Вынесем общий множитель dy/dx за скобки:

(1 - (1/4) * (1/cos^2 y)) * dy/dx = 10/4.

8. Упростим дробь в скобках:

(3/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx = 10/4.

9. Заметим, что (1/cos^2 y) = sec^2 y:

(3/4) * sec^2 y * dy/dx = 10/4.

10. Выразим dy/dx, разделив обе части на (3/4) и выполнив упрощение:

dy/dx = (10/4) / (3/4) / (sec^2 y).

11. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на (4/4):

dy/dx = (10/3) / sec^2 y.

12. Используем то, что sec^2 y = 1/cos^2 y:

dy/dx = (10/3) / (1/cos^2 y).

13. Сократим дробь, перемножив числитель и знаменатель на cos^2 y:

dy/dx = (10/3) * cos^2 y.

Таким образом, производная функции tg y = (4y - 5x) по переменной x равна (10/3) * cos^2 y.