1. Математика
  2. Найти производную функции:

Найти производную функции:
y=(sqrt(x))^arcsin(x)

элюсся5 элюсся5    2   20.06.2021 19:06    2

Ответы
marystuart21 marystuart21  20.07.2021 19:59

Задание. Найти производную функции y = \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.

Решение. Задана функция вида y = \left(f(x) \right)^{g(x)}.

Для нахождения производной данной функции выполняют следующие этапы:

1. Прологарифмировать обе части данного равенства по основанию e\colon

\ln y = \ln \left(\sqrt{x} \right)^{\arcsin x}.

2. По свойству логарифмов \log_{a}b^{p} = p\log_{a}b имеем:

\ln y = \arcsin x \cdot \ln \left\sqrt{x} .

3. Найти производную двух частей равенства по переменной x \colon

(\ln y)' = (\arcsin x \cdot \ln \left\sqrt{x})'.

3.1. Используя (\ln u) = \dfrac{1}{u} \cdot u', имеем:

(\ln y)' = \dfrac{1}{y} \cdot y' = \dfrac{y'}{y} .

3.2. Используя правило (u \cdot v)' = u'v + uv', имеем:

(\arcsin x)' \cdot \ln \sqrt{x} + \arcsin x \cdot (\ln \sqrt{x})'.

3.2.1. Используя   \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} и (\ln u)' = \dfrac{1}{u} \cdot u', имеем:

\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \ln \sqrt{x} + \arcsin x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})'.

3.2.2. Используя (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, имеем:

\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} .

3.2.3. Упросим выражение и получаем:

\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}.

3.3. Имеем:

\dfrac{y'}{y} =\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}.

4. Умножим обе части равенства на y \colon

y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot y.

5. Поскольку из условия y = \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}, то:

y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.

ответ: y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Девочка134 Девочка134  06.12.2020 12:53
A^5 b^4 b^5 a^4 доказать что a^3 b^2 очень...
Фарук11 Фарук11  06.12.2020 12:53
решить уравнение y°=0 y=x³-6x²-63x...
Настіяа Настіяа  06.12.2020 12:53
326.840:40 в столбик с проверкой​...
Даша12Няшка Даша12Няшка  06.12.2020 12:51
На другом заводе рис упаковали в мешки поровну.Здесь в 300 мешках- 6 т риса.Во сколько мешков упакуют 2т риса....
PonchiKmm PonchiKmm  06.12.2020 12:51
Вася, Петя и Коля бросили жребий - кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Петя....
antongrom68 antongrom68  06.12.2020 12:51
∣∣∣ 2х - 1∣ - 5 ∣ - 7 ∣ ∙ ∣ -3 - (-4) ∣ = 7....
Murmurvk Murmurvk  06.12.2020 12:50
решить этот пример :(-5×(x-3)×(x+2)=?​...
katyaarbato katyaarbato  09.02.2021 16:40
Напиши решение системы неравенств.( 2x – 3 - 1| 3х – 2 7ответ: [ответ: О.​...
LiliyaEgor LiliyaEgor  09.02.2021 16:40
В ромбе ABCD BK параллельно AD, ABC= 150 градусов AB= 12 смНайдите площадь ромба​...
alinkamalina04 alinkamalina04  09.02.2021 16:40
Вычислите уравнения 1) 846,325 - (x + 0,1) = 533,002; 2) (x - 42,75) + 78,702 = 150,1501...

Популярные вопросы