Найти производную функции y=(3+sin x)(3-sin x) и вычислить y'(p: 4)

(UV)'=u'v+v'u
y'=(cosx)(3-sinx)-cos(3+sinx)=3cosx-cosxsinx-3cosx-cosxsinx=-2sinxcosx=-sin2x
y'(p/4)=-sin(p/2)=-1

Хорошо, давайте разберем этот вопрос шаг за шагом.

Для начала, нам нужно найти производную функции y=(3+sin x)(3-sin x). Для этого мы будем использовать правило производной произведения функций, которое гласит: если f(x) и g(x) - две функции, то производная их произведения равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первую функцию, умноженную на производную второй функции.

Теперь применим это правило к нашей функции. Первая функция - (3+sin x), вторая функция - (3-sin x). Давайте обозначим первую функцию как f(x) = (3+sin x), а вторую функцию как g(x) = (3-sin x).

Теперь выразим производные каждой из этих функций. Производная функции f(x) = (3+sin x) равна производной суммы константы 3 и функции sin x. Производная константы равна нулю, а производная функции sin x равна cos x. Таким образом, производная функции f(x) равна cos x.

Аналогично, производная функции g(x) = (3-sin x) равна производной константы 3 минус производной функции sin x. Опять же, производная константы равна нулю, а производная функции sin x равна cos x. Таким образом, производная функции g(x) равна -cos x.

Теперь мы можем найти производную произведения функций. Производная функции y равна производной функции f, умноженной на функцию g, плюс функцию f, умноженную на производную функции g.

Используя наши выражения для производной функции f и g, получаем:

y' = (cos x)(3-sin x) + (3+sin x)(-cos x)

Теперь у нас есть выражение для производной функции y.

Чтобы вычислить значение производной y'(p) в точке p=4, мы должны подставить значение x=4 в выражение для y'.

подставим вместо х значение р

y'(p=4) = (cos 4)(3-sin 4) + (3+sin 4)(-cos 4)

Теперь остается только вычислить это выражение, используя калькулятор и значения тригонометрических функций.

Обратите внимание, что эти вычисления могут быть сложными и могут потребоваться знания о тригонометрических функциях и их значениях.