Найти производную f(x)=2sin2x-3tgx

Пошаговое объяснение:

производная=2×cos2x×2-3×1/cosвквадрате х=4cos2x-3/cosквад.х

Добрый день! Рад помочь тебе с этим математическим вопросом. Давай разберемся с производной функции f(x)=2sin^2(x)-3tan(x) пошагово.

Шаг 1: Разложение функции
Введем новые обозначения для удобства:
u = sin(x)
v = tan(x)

Шаг 2: Вычисление производных
Вспомним, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Также, производная произведения двух функций равна первая функция, умноженная на производную второй функции, плюс вторая функция, умноженная на производную первой функции.

Вычислим производные:
f'(x) = (2u^2)' - (3v)'

Шаг 3: Вычисление производных первого слагаемого
Для вычисления производных в первом слагаемом используем правило производной произведения:
(u^n)' = nu^(n-1) * u'
Найдем производную функции u^2:
(u^2)' = 2u * u'

Шаг 4: Вычисление производной второго слагаемого
Для вычисления производной тангенса воспользуемся правилом производной тангенса:
(tan(x))' = (sin(x)/cos(x))'
(tan(x))' = (sin(x) * (1/cos(x)))'

Заметим, что у нас есть производные sin(x) и cos(x), которые до сих пор не вычислены. Они также требуют обоснования и расчета.

Шаг 5: Вычисление производных sin(x) и cos(x)
Производная sin(x):
(sin(x))' = cos(x)

Производная cos(x):
(cos(x))' = -sin(x)

Шаг 6: Замена производных второго слагаемого
Вернемся к вычислению производной второго слагаемого. Она выглядит следующим образом:
(tan(x))' = (sin(x) * (1/cos(x)))'

Заменим производные sin(x) и cos(x):
(tan(x))' = (cos(x) * (1/cos(x)))'

Шаг 7: Упрощение второго слагаемого
Поскольку умножение cos(x) на (1/cos(x)) дает результат 1, получаем:
(tan(x))' = 1

Теперь мы можем вернуться к вычислению производной функции f(x), заменив производные:

f'(x) = 2u * u' - 3 * 1

Шаг 8: Замена u и u'
Заменим u на sin(x) и u' на cos(x):

f'(x) = 2sin(x) * cos(x) - 3

Шаг 9: Упрощение
Упростим полученное выражение:

f'(x) = sin(2x) - 3

Таким образом, производная функции f(x) равна sin(2x) - 3.

Этот ответ можно обосновать, проведя вычисления пошагово и детально объяснив каждый шаг. Пожалуйста, дай мне знать, если у тебя есть еще вопросы или если что-то не ясно!