Найти проекцию точки Р (2; -1; 3) на прямую x=3t, y=5t-7, z=2t+2.

Чтобы найти проекцию точки P на заданную прямую, мы должны найти точку Q, которая является пересечением прямой с линией, проходящей через точку P и перпендикулярной данной прямой.

Шаг 1: Найдем параметрическое уравнение линии, проходящей через точку P и перпендикулярной заданной прямой.

Мы знаем, что вектор, перпендикулярный заданной прямой, будет параллелен вектору нормали данной прямой. Вектор нормали получается из коэффициентов уравнения прямой, умноженных на -1:

Нормальный вектор = (-1, 5, 2)

Теперь мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точку P и перпендикулярную заданной прямой:

x = 2 - t (компонента x-координаты точки минус параметр t)
y = -1 + 5t (компонента y-координаты точки плюс параметр t, умноженный на коэффициент при y)
z = 3 + 2t (компонента z-координаты точки плюс параметр t, умноженный на коэффициент при z)

Шаг 2: Найдем точку пересечения этой линии с заданной прямой.

Точка пересечения может быть найдена путем приравнивания параметрического уравнения линии с параметрическим уравнением заданной прямой:

2 - t = 3t (компонента x-координаты точки нашей линии равна x-координате заданной прямой)
-1 + 5t = 5t - 7 (компонента y-координаты точки нашей линии равна y-координате заданной прямой)
3 + 2t = 2t + 2 (компонента z-координаты точки нашей линии равна z-координате заданной прямой)

Первое и третье уравнение дает нам t = 1. Подставим это значение t во второе уравнение:

-1 + 5(1) = 5(1) - 7
-1 + 5 = 5 - 7
4 = -2

Уравнение не имеет решения. Это означает, что заданная прямая и линия, проходящая через точку Р и перпендикулярная прямой, не пересекаются.

В результате, проекция точки P на заданную прямую не существует.