Найти проекцию точки p(-8;12) на прямую, проходящую через точки a(3;-4) и b(-5;1).

Чтобы найти проекцию точки p(-8;12) на прямую, проходящую через точки a(3;-4) и b(-5;1), мы можем использовать формулу проекции точки на прямую.

Шаг 1: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки a(3;-4) и b(-5;1).
Обычно мы можем использовать формулу прямой вида y = mx + c, где m - это коэффициент наклона прямой, а c - это коэффициент смещения. Однако, здесь мы можем использовать другую формулу y - y1 = m(x - x1), где m - это тоже коэффициент наклона, а x1 и y1 - это координаты одной из точек прямой.

Найдем m:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) = (3, -4) и (x2, y2) = (-5, 1)
m = (1 - (-4)) / (-5 - 3) = 5 / -8 = -5/8

Теперь мы можем использовать уравнение прямой в форме y - y1 = m(x - x1) с координатами точки a(3;-4):
y - (-4) = (-5/8)(x - 3)
y + 4 = (-5/8)(x - 3)

Развернем это уравнение, чтобы получить его в стандартной форме:
y + 4 = (-5/8)x + 15/8
y = (-5/8)x + 15/8 - 4
y = (-5/8)x + 15/8 - 32/8
y = (-5/8)x - 17/8

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки a(3;-4) и b(-5;1), это y = (-5/8)x - 17/8.

Шаг 2: Теперь найдем перпендикулярную прямую, проходящую через точку p(-8;12). Зная, что перпендикулярный коэффициент наклона равен отрицанию обратного коэффициента наклона исходной прямой, мы можем найти его и использовать точку p(-8;12) для нахождения уравнения этой перпендикулярной прямой.

Коэффициент наклона перпендикулярной прямой равен -1/m, где m - это коэффициент наклона исходной прямой:
-1/m = -1 / (-5/8) = 8/5

Используя уравнение прямой в формате y - y1 = m(x - x1) и координаты точки p(-8;12), мы получаем:
y - 12 = (8/5)(x - (-8))
y - 12 = (8/5)(x + 8)

Развернем это уравнение, чтобы получить его в стандартной форме:
y - 12 = (8/5)x + 64/5
y = (8/5)x + 64/5 + 60/5
y = (8/5)x + 124/5

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку p(-8;12), это y = (8/5)x + 124/5.

Шаг 3: Чтобы найти проекцию точки p(-8;12) на исходную прямую, мы должны найти точку пересечения этих двух прямых.

Решим систему уравнений, состоящую из уравнения исходной прямой и уравнения перпендикулярной прямой:
y = (-5/8)x - 17/8
y = (8/5)x + 124/5

Приравняем значения y и решим уравнение для x:
(-5/8)x - 17/8 = (8/5)x + 124/5

Упростим выражение:
(-5/8 - 8/5)x = 124/5 + 17/8
(-40/40 - 64/40)x = 992/40 + 85/40
(-104/40)x = 1077/40

Упростим его еще больше:
-13/5x = 1077/40

Умножим обе части уравнения на (-40), чтобы избавиться от дробей:
(-13/5)(-40)x = 1077/40(-40)
(13/5)(40)x = -1077

Упростим:
(13/5)(8)x = -1077
104x = -1077

Разделим обе части на 104:
x = -1077/104

Теперь мы можем подставить значение x обратно в одно из уравнений прямой, например, в y = (-5/8)x - 17/8:
y = (-5/8)(-1077/104) - 17/8
y = 53625/6656 - 221/8
y = 53625/6656 - 221*104/8*104
y = 53625/6656 - 22984/6656
y = 30641/6656

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты (-1077/104, 30641/6656), что и является проекцией точки p(-8;12) на исходную прямую, проходящую через точки a(3;-4) и b(-5;1).

Важно учесть, что в данном случае проекция попадает на линейный отрезок между точками a и b. Если проекция попадает за пределы этого отрезка, то нужно найти ближайшую из двух точек a и b к проекции.