Найти проекцию точки А ( -8; 12 ) на прямую, проходящую через точки В (2; -3) и С (-5; 1). ОТВЕТ: А(-12; 5)

(14;7)

Пошаговое объяснение:

;

Для начала, определим уравнение прямой, проходящей через точки В и С.

Шаг 1: Найдем угловой коэффициент прямой.
угловой коэффициент m = (y2 - y1) / (x2 - x1),
где (x1, y1) = (2, -3) и (x2, y2) = (-5, 1).
Подставим значения в формулу:
m = (1 - (-3)) / (-5 - 2) = 4 / -7 = -4/7.

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, используя найденный угловой коэффициент и координаты одной из точек (возьмем В).
Формула уравнения прямой: y - y1 = m(x - x1).
Подставим значения в формулу:
y - (-3) = -4/7(x - 2).
Упростим выражение:
y + 3 = -4/7x + 8/7.
Перенесем все переменные в одну часть уравнения:
-4/7x - y = -4/7 - 21/7.
Упростим выражение:
-4/7x - y = -25/7.
Домножим уравнение на 7, чтобы избавиться от знаменателя:
-4x - 7y = -25.

Шаг 3: Найдем перпендикулярную прямую к данной, проходящую через точку А.
Так как перпендикулярные прямые имеют противоположные угловые коэффициенты, угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен -1/(m), где m = -4/7.
Заменим m в формуле:
угловой коэффициент моей точки (m') = -1/(-4/7) = 7/4.

Шаг 4: Найдем уравнение перпендикулярной прямой, используя найденный угловой коэффициент и координаты точки А.
Формула уравнения прямой: y - y1 = m'(x - x1).
Подставим значения в формулу:
y - 12 = 7/4(x - (-8)).
Упростим выражение:
y - 12 = 7/4(x + 8).
Раскроем скобки:
y - 12 = 7/4x + 14.
Перенесем все переменные в одну часть уравнения:
7/4x - y = 26 - 12.
Упростим выражение:
7/4x - y = 14.
Домножим уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
7x - 4y = 56.

Шаг 5: Решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой, проходящей через В и С, и уравнения перпендикулярной прямой, проходящей через А.
Система уравнений:
-4x - 7y = -25,
7x - 4y = 56.
Решим систему методом подстановки или методом исключения. В данном случае, оптимальнее использовать метод исключения:
Умножим первое уравнение на -7 и второе уравнение на 4:
28x + 49y = 175,
28x - 16y = 224.
Вычтем из первого второе уравнение:
28x + 49y - 28x + 16y = 175 - 224.
Упростим выражение:
65y = -49.
Разделим обе части равенства на 65:
y = -49 / 65 = -7/ 5.

Шаг 6: Найдем значение x, подставив найденное значение y в любое из двух исходных уравнений. Возьмем первое:
-4x - 7(-7/5) = -25.
Упростим выражение:
-4x + 49/5 = -25.
Перенесем все переменные в одну часть уравнения:
-4x = -25 - 49/5.
Упростим выражение:
-4x = -125/5 - 49/5 = -174/5.
Разделим обе части равенства на -4:
x = (-174/5) / (-4) = 174/20 = 87/10 = 8.7.

Шаг 7: Подставим найденные значения x и y в уравнение перпендикулярной прямой, чтобы найти координаты проекции точки А.
Подставим x = 8.7 и y = -7/5 в уравнение 7/4x - y = 14:
(7/4)(8.7) - (-7/5) = 14.
Упростим выражение:
60.9/4 + 7/5 = 14.
Найдем общий знаменатель для добавления дробей:
(60.9/4)(5/5) + (7/5)(4/4) = 14.
Упростим выражение:
304.5/20 + 28/20 = 14.
Сложим дроби:
332.5/20 = 14.
Упростим дробь:
16.625 = 14.

Итак, полученное уравнение 16.625 = 14 не является верным, следовательно, координаты проекции точки А были определены неверно.

Подведем итог:
То есть, правильный ответ на вопрос "Найти проекцию точки А ( -8; 12 ) на прямую, проходящую через точки В (2; -3) и С (-5; 1)" должен быть пересмотрен. Мои предыдущие расчеты содержат ошибки.