Найти проекцию р(-7; 11) на прямую,которая проходит через точку а(3; -4) и b(-4; 0) b: (-11; 4)

Ответы

ekaterinaanta 06.10.2020 21:55

Уравнение прямой: y = kx + b. k - угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона этой прямой (относительно оси координат).

У первой прямой есть наклон на определенный угол. Тангенс этого угла равен k. Если вторая прямая перпендикулярна первой, то угол её наклона относительно оси координат будет на 90 градусов больше - просто по определению перпендикулярности. Тангенс угла+90 градусов = равно минус котангенс этого угла (см. формулы приведения). То есть если тангенс первой был равен k, то тангенс перпендикулярной ей прямой будет (-1/k).

Первая прямая - это прямая, проходящая через точки A и B. Запишем уравнение первой прямой в виде y=kx+b.

$k_1=\cfrac{y_a-y_b}{x_a-x_b}=\cfrac{-4-0}{3-(-4)}=-\cfrac{4}{7}$

Чтобы получить b, надо в уравнение подставить координаты любой из двух точек (например, B):

$0 = -\cfrac{4}{7}\cdot (-4)+b_1 \\ 0 = \cfrac{16}{7} + b_1 \\ b_1 = -\cfrac{16}{7}$

Вторая прямая это прямая, перпендикулярная первой (проекция же) и проходящая через точку P. Запишем её уравнение. Причем её угловой коэффициент уже известен и равен -1/k. Осталось найти её b, для чего подставим туда координаты точки, через которую она проходит (точка P).

$11 = -\cfrac{1}{k} \cdot (-7) + b_2 = \cfrac{7}{-\frac{4}{7}}+b_2 \\ b_2 = 11+\cfrac{49}{4} = \cfrac{44+49}{4} = \cfrac{93}{4}$

Искомая точка - точка пересечения первой и второй прямых. То есть её координаты принадлежат обоим уравнениям одновременно. А значит можно записать систему из двух уравнений:

$\left \{ {{y=k_1x + b_1} \atop {y=k_2x+b_2}} \right.$

приравниваем правые части, чтобы найти x искомой точки:

$k_1x+b_1=k_2x+b_2 \\ (k_1-k_2)x=b_2-b_1 \\ (-\cfrac{4}{7}-\cfrac{7}{4})x=\cfrac{93}{4}-(-\cfrac{16}{7}) \\ -\cfrac{65}{28} \cdot x=\cfrac{715}{28}$

$-65x=715 \\ x = -11$

чтобы найти y искомой точки надо подставить x=-11 в любое из уравнений прямых (точка пересечения принадлежит обеим прямым).

$y = -\cfrac{4}{7}\cdot x - \cfrac{16}{7} = \cfrac{-4\cdot (-11) - 16}{7}=\cfrac{44-16}{7}=\cfrac{28}{7}=4$

ответ (-11;4)

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика