Найти: проекцию и углы треугольника

Дано:

Точка А               Точка В             Точка С  

x y z                 x y z                   x  y z

4 5 -3               -2 5 3                   0   1 -1 .

а) Определяем векторы:

Вектор АВ     Вектор ВС         Вектор АС  

x y z                   x y z                         x y z

-6 0 6                   2 -4 -4                          -4 -4 2

Модуль = √72 ≈ 8,4853 Модуль = √36 = 6     Модуль=√36=6

Вектор (-3(АС)) = ((12; 12; -6).

Сумма векторов АВ и (-3(АС)) равна (6; 12; 0).

Находим скалярное произведение (ВС) х ((АВ) -3(АС)) =

= 12 - 48 + 0 = -36.

Чтобы найти проекцию вектора 1  на вектор 2 , надо скалярное произведение указанных векторов поделить на длину (модуль) вектора 2 , то есть  -36/6 = -6.

б) Косинус угла между векторами в треугольнике равен абсолютному значению скалярного произведения векторов, делённому на произведение их модулей.

АВ х ВС  =  − 6 ⋅ 2 + 0 ⋅ ( − 4 ) + 6 ⋅ ( − 4 ) = − 36

 Подставим найденные значения в формулу:

cos φ  = | − 36|/( 6 √ 2*6)  =  √2 /2.

∠В = φ  = arccos (  √ 2/2 ) =45°.

По значению длин сторон треугольника видим, что это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Отсюда имеем ∠А = ∠В = φ  = arccos (  √ 2/2 ) =45°.

Угол С = 90 градусов.