1. Математика
  2. , найти предел последовательности

, найти предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности


, найти предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности

ismailismailov11 ismailismailov11    1   03.01.2022 22:05    3

Ответы
викториасн викториасн  15.02.2022 14:19

Будем пользоваться непрерывностью косинуса, тем самым обосновывая справедливость внесения знака предела под аргумент.

n^{5/6}\pi\dfrac{\sqrt[3]{n^2-1}-\sqrt[3]{n^2} }{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = n^{5/6}\pi\dfrac{\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{2/3}\right)\left((n+1)^{1/2}+n^{1/2}\right)}{1}, это получилось умножением числителя и знаменателя на сопряженное. Раскрываем скобки: n^{5/6}\pi\left((n-1)^{1/3}(n+1)^{5/6}-n^{2/3}(n+1)^{1/2}+n^{1/2}(n-1)^{1/3}(n+1)^{1/3}-n^{7/6}\right). Вынесем n^{7/6}: n^{2}\pi\left(\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{5/6}-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{1/2}+\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{1/3}-1\right). Разложим каждую скобку по формуле Тейлора в окрестности 0 с точностью до квадратичных членов: n^2\pi\left(1-\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right)\left(1+\dfrac{5}{6n}-\dfrac{5}{72n^2}+o(1/n^2)\right)-\\-n^2\pi\left(1+\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{8n^2}+o(1/n^2)\right)+\\+n^2\pi\left(1-\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right) \left(1+\dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{9n^2}+o(1/n^2)\right) - n^2\pi

После раскрытия скобок получим -n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1) \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\left [-n^2\pi\dfrac{2}{3n^2}+o(1)\right] = -\dfrac{2\pi}{3}. Значит, \lim\limits_{n\to\infty }x_{n} = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
matveeva17vay matveeva17vay  09.09.2019 21:10
Сколько целых отрицательных чисел расположены между числами -7 и -13 сколько целых отрицательных чисел расположено между числами -2 и -6 заранее...
NovaHelper NovaHelper  09.09.2019 21:10
Чему равен объем параллелепипеда со сторонами 3 дм,6 дм и 2 (3 класс)...
Артеммашар Артеммашар  09.09.2019 21:10
Впиши числа,чтобы получились верные записи а)12*? =? *12; ? *11больше11*? ? +? +? =23*? 37*? меньше? *37; б)9*? =? +? +? +? +? 4*8=? +? +? +? 8*7больше8*? 8*4меньше? *9;...
angelvkedah9 angelvkedah9  09.09.2019 21:10
Из двух городов,расстояние между которыми 500км, вышли одновременно навстречу друг другу 2 поезда. скорость одного поезда 45 км/ч. определить скорость второго поезда, если...
Vikanigmatulina Vikanigmatulina  09.09.2019 21:10
Из пункта а в пункт в вышел товарный поезд . спустя 2ч6мин вслед за ним вышел пассажирский поезд.скорость пассажирского поезда была70,5км/ч а скорость товарного 60км/ч найти...
БАХАУДДИН БАХАУДДИН  09.09.2019 21:10
Найди точку пересечения графиков, заданных формулами 15x+2y=75 и y=−2,5x без построения. ответ: ( ; )...
S2a0h0i6b S2a0h0i6b  09.09.2019 21:10
Втреугольнике авс со сторонами 13,14 и 15 н,м и л-точки пересечения его высот, медиан и биссектрис соответсвенно,найдите площадь треугольника нмл...
danya13112004 danya13112004  09.09.2019 21:10
Одно слово из всех букв какое можно составить т в р и л а у к а а...
Leylanagieva Leylanagieva  09.09.2019 21:10
Найдите число если известно что число которое меньше самого большого трехзначного числа на 342 больше его на 23...
MCKiri4PrO MCKiri4PrO  09.09.2019 21:10
На пошив одного платья из одного халата портной потратил одинокого количество ткани. из 36 м ткани он сшил 4 платья и 5 халатов. сколько метров ткани потратил потной на пошив...

Популярные вопросы