Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы y=-2/x и прямыми x=1, x=5

Хорошо, давай разберемся с этим математическим заданием.

Перед тем, как приступить к решению, давай разберемся, что изображают данные прямые и гипербола на координатной плоскости.

Прямые x=1 и x=5 - это вертикальные линии, которые проходят через значения x=1 и x=5 соответственно.

Гипербола y=-2/x - это кривая, которая имеет горизонтальную асимптоту y=0 и проходит через начало координат (0,0). Ветви гиперболы располагаются симметрично относительно оси ординат и осязаятся с асимптотой.

Теперь давай решим задачу.

1. Сначала нарисуем все данные на координатной плоскости. Нанесем вертикальные линии x=1 и x=5. Также нарисуем гиперболу y=-2/x. Обозначим часть фигуры, ограниченную этими линиями и гиперболой.

[Вставьте сюда рисунок, иллюстрирующий размещение данных прямых и гиперболы]

2. Затем определим, где находятся точки пересечения гиперболы и прямых. Чтобы найти точки пересечения с прямыми, мы подставим уравнения прямых в уравнение гиперболы и решим полученные уравнения системой.

a) Для x=1: подставим x=1 в уравнение y=-2/x:
y = -2/1
y = -2

Таким образом, первая точка пересечения будет (1, -2)

b) Для x=5: подставим x=5 в уравнение y=-2/x:
y = -2/5

Вторая точка пересечения будет (5, -2/5)

[Вставьте сюда рисунок, с отмеченными точками пересечения]

3. Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямыми. Эта фигура представляет собой трапецию.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - это длины оснований трапеции, а h - высота.

Основания трапеции - это отрезки, образованные вертикальными линиями и гиперболой.
Так как прямые x=1 и x=5 параллельны оси ординат, то основания треугольника будут соответствовать расстояниям между точками пересечения на оси ординат.

Таким образом, длина основания a будет равна высоте данной трапеции и будет равна разности значений y в точке (1, -2) и y в точке (5, -2/5):
a = |-2 - (-2/5)| = |-10/5 + 2/5| = |-8/5| = 8/5

Длина основания b будет равна 4 (расстояние между x=1 и x=5).

Теперь нужно найти высоту трапеции, которая будет равна разности значений x в точках пересечения:
h = |1 - 5| = |-4| = 4

4. Подставляем найденные значения a, b и h в формулу площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2 = (8/5 + 4) * 4 / 2 = (8/5 + 20/5) * 4 / 2 = (28/5) * 2 = 56/5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы y=-2/x и прямыми x=1, x=5, равна 56/5 или 11.2.

[Выводим финальный ответ: "Площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы y=-2/x и прямыми x=1, x=5, равна 11.2."]