Математика: Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x^2 и x+y=0

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
y=2x-x^2 и x+y=0

Ответы

kiraflower 15.10.2020 14:00

$\displaystyle\\S=-\int\limits^3_0 {(-x-2x+x^2)} \, dx=\int\limits^3_0 {x+2x-x^2} \, dx =\int\limits^3_0 {3x-x^2} \, dx=\\\\\\=(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\mid^3_0=\frac{3*3^2}{2}-\frac{3^3}{3}-(\frac{3*0}{2}-\frac{0}{3})=\frac{9}{2}$

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x^2 и x+y=0

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

МаринаБалыгина505212 15.10.2020 14:00

Пошаговое объяснение:

площадь фигуры равна определенному интегралу от разницы у₁(х) - у₂(х),

пределы интегрирования - это точки пересечения функций

$\int\limits^a_b {(y_{1} -y_{2} } )\, dx$

напишем формулы в удобном виде

у₁ = 2х - х²

у₂ = -х

найдем точки пересечения функций

2х -х² = -х

х²-2х -х =0 ⇒ х²-3х = 0 ⇒ х(х-3) = 0 ⇒ х₁ = 0, х₂ = 3

это есть точки, где графики пересекаются, и эти же значения есть пределы интегрирования

$S = \int\limits^3_0 {((2x-x^{2}) -(-x)) } \, dx = \int\limits^3_0 {(3x -x^{2} )} \, dx =$

интеграл разности равен разности интегралов. константу выносим за знак интеграла. получим

$= 3\int\limits^3_0 {x} \, dx - \int\limits^3_0 {x^{2} x} \, dx =\left[\begin{array}{ccc}\int\limits {x^{2} } \, dx =\frac{x^{3} }{3} \\\int\limits {x} \, dx = \frac{x^{2} }{2} \\\end{array}\right] =$