Найти первые пять членов разложения функции в ряд Тейлора y=2/(5x+4)
в окрестности точки Xo=-1

ответ: 2/(5*x+4)≈-2-10*(x+1)-50*(x+1)²-250*(x+1)³-1250*(x+1)⁴.

Пошаговое объяснение:

Разложение функции f(x) в ряд Тейлора по степеням x-x0 имеет вид:

f(x)=a0+a1*(x-x0)+a2*(x-x0)²+...+an*(x-x0)ⁿ+...

Коэффициенты an определяются по формуле: an=f⁽ⁿ⁾(x0)/n!

Отсюда a0=f(-1)=-2, a1=f'(-1), a2=f''(-1)/2, a3=f'''(-1)/6, a4=f⁽⁴⁾(-1)/24. Находим производные: f'(x)=-10/(5*x+4)², f''(x)=100/(5*x+4)³, f'''(x)=-1500/(5*x+4)⁴, f⁽⁴⁾(x)=30000/(5*x+4)⁵. Подставляя в эти выражения значение x=x0=-1, находим a1=-10, a2=-50, a3=-250, a4=-1250. Окончательно получаем разложение: 2/(5*x+4)≈-2-10*(x+1)-50*(x+1)²-250*(x+1)³-1250*(x+1)⁴  

Проверка: положим для примера x=-0,98. Тогда 2/(-0,98*5+4)≈-2,2222 и -2-10*(-0,98+1)-50*(-0,98+1)²-250*(-0,98+1)³-1250*(-0,98+1)⁴≈-2,2222 - результаты совпадают.