Найти первообразную, график которой проходит через т.А а)f(x)=4x-6x^2+1; A(0;2)

б)f(x) =1/x^2-10x^4+3; A(1;5)

Решите

ответы на фото

...............

Добрый день! Давайте решим задачу по нахождению первообразной для данных функций.

а) Для функции f(x) = 4x - 6x^2 + 1, график которой проходит через точку A(0;2), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Для начала возьмем производную функции f(x):

f'(x) = (4 - 12x)

Теперь мы знаем, что производная функции F(x) должна быть равна функции f(x), поэтому мы можем записать следующее:

F'(x) = f(x)
F'(x) = (4 - 12x)

Чтобы найти функцию F(x), возьмем интеграл от обеих частей последнего уравнения:

∫F'(x) dx = ∫(4 - 12x) dx

Интегрируем полученное уравнение:

F(x) = 4x - 6x^2/2 + C

где C - произвольная константа.

Теперь у нас есть общее выражение для первообразной функции f(x), график которой проходит через точку A(0;2).

Подставим координаты точки A(0;2) в найденную первообразную функцию:

2 = 4*0 - 6*0^2/2 + C
2 = 0 - 0 + C
2 = C

Таким образом, константа C равна 2, и окончательное выражение первообразной функции через точку A(0;2) будет:

F(x) = 4x - 6x^2/2 + 2
F(x) = 4x - 3x^2 + 2

б) Для функции f(x) = 1/x^2 - 10x^4 + 3, график которой проходит через точку A(1;5), мы должны снова найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = -2/x^3 - 40x^3

Теперь мы знаем, что производная функции F(x) должна быть равна функции f(x), поэтому мы можем записать следующее:

F'(x) = f(x)
F'(x) = -2/x^3 - 40x^3

Проинтегрируем это уравнение:

∫F'(x) dx = ∫(-2/x^3 - 40x^3) dx

Для интегрирования первого слагаемого, используем правило интегрирования степени x:

∫(-2/x^3) dx = 2/x^2 + C1

Для интегрирования второго слагаемого, используем правило интегрирования степени x:

∫(-40x^3) dx = -10x^4 + C2

Где C1 и C2 - произвольные константы.

Таким образом, общее выражение первообразной функции f(x) будет:

F(x) = 2/x^2 -10x^4 + C1 + C2

Теперь подставим координаты точки A(1;5) в найденную первообразную функцию:

5 = 2/1^2 - 10*1^4 + C1 + C2
5 = 2 - 10 + C1 + C2
5 = -8 + C1 + C2
C1 + C2 = 13

Таким образом, сумма констант C1 и C2 равна 13, и окончательное выражение первообразной функции через точку A(1;5) будет:

F(x) = 2/x^2 -10x^4 + 13

Надеюсь, это поможет вам понять процесс нахождения первообразной функции через заданные точки! Если у вас есть еще вопросы, обращайтесь!