Найти переходную функцию h(t) по известной функции веса W(t)

Чтобы найти переходную функцию h(t) по известной функции веса W(t), нам необходимо сначала определить, что такое переходная функция и функция веса.

Переходная функция характеризует поведение системы при изменении входного сигнала. Она показывает, как система реагирует на мгновенное изменение входного сигнала и как входной сигнал влияет на выход системы с течением времени.

Функция веса является частью переходной функции и описывает, как входной сигнал "взвешен" (или преобразован) системой перед тем, как получиться окончательный выходной сигнал.

Теперь давайте перейдем к решению задачи. Для нахождения переходной функции h(t), нам дана функция веса W(t), изображение которой представлено на рисунке.

1. Начнем с определения выражения для функции веса W(t). Рассмотрим, что значит каждая часть графика:

- Для t < 0 функция веса W(t) равна нулю. Это означает, что система еще не была запущена до момента времени t=0.
- В начальный момент времени t=0 функция веса резко возрастает до значения W(0). Это может означать, что в момент времени t=0 система получает какой-то входной сигнал.
- После момента времени t=0 функция веса плавно убывает до нуля по экспоненциальному закону. Это говорит о том, что входной сигнал постепенно исчезает с течением времени.

2. Теперь необходимо выразить функцию веса W(t) математически, чтобы найти переходную функцию. Для этого разобьем функцию веса на три участка, учитывая описание выше:

- Для t < 0: W(t) = 0
- В начальный момент времени t=0: W(t) = W(0)
- После момента времени t=0: W(t) = W(0) * e^(-αt), где α - коэффициент затухания (отрицательное число)

3. Теперь найдем переходную функцию h(t) с использованием функции веса W(t). Переходная функция может быть найдена с помощью формулы:

h(t) = ∫[0, t] W(τ) dτ, где ∫ означает интеграл, [0, t] - интервал интегрирования

С помощью данной формулы мы найдем переходную функцию h(t) путем интегрирования функции веса W(τ) от 0 до t.

4. Применим формулу для каждого из трех участков функции веса W(t) и проинтегрируем:

- Для t < 0: h(t) = ∫[0, t] 0 dτ = 0, так как функция веса равна нулю на данном участке.
- В начальный момент времени t=0: h(t) = ∫[0, t] W(0) dτ = ∫[0, t] W(0) dτ = W(0) * t, так как функция веса постоянна на данном участке.
- После момента времени t=0: h(t) = ∫[0, t] W(0) * e^(-ατ) dτ

Для нахождения значения данного интеграла существует специальный математический метод, называемый методом экспоненциального интегрирования. Этот метод позволяет нам найти аналитическое выражение для переходной функции.