. Найти отношения радиуса описанного около правильного тетраэдра шара к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр

Добрый день!

Для того чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с понятием описанного и вписанного шаров.

Описанный шар окружает тело таким образом, что его центр совпадает с центром тела, а его радиус равен расстоянию от центра тела до любой его точки. В данном случае, мы хотим найти отношение радиуса описанного около тетраэдра шара к радиусу вписанного в этот тетраэдр шара.

Вписанный шар находится внутри тела и касается всех его граней. Его центр также совпадает с центром тела, а его радиус максимален.

Чтобы решить задачу, давайте вспомним некоторые свойства правильного тетраэдра.

1. Опишем правильный тетраэдр вписанным шаром и соединим центр этого шара с вершинами тетраэдра. Тогда получим равносторонний треугольник.

2. Также известно, что радиусы описанных окружностей равносторонних треугольников, сонаправленных с гранями тетраэдра, образуют геометрическую прогрессию с отношением sqrt(3). (это можно доказать с использованием подобия треугольников).

Пусть радиус вписанного шара равен r, а радиус описанного шара равен R.

Так как радиусы описанных окружностей равносторонних треугольников образуют геометрическую прогрессию с отношением sqrt(3), то можно записать следующую пропорцию:
r : R = 1 : sqrt(3)

Для того чтобы найти отношение радиуса описанного около правильного тетраэдра шара к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр, мы можем привести пропорцию к единичному радиусу вписанного шара, то есть поделить обе стороны на r:

(r : R) / r = (1 : sqrt(3)) / r

Теперь осталось разделить на r и упростить выражение:

1 : (R / r) = 1 / (r * sqrt(3))

Итак, отношение радиуса описанного около правильного тетраэдра шара к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр, равно 1 / (r * sqrt(3)).

Надеюсь, что я смог объяснить решение этой задачи понятным образом. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задавайте!