Найти общее решение y''- 4y' + 5y=0

y=C₁·e²ˣ·sinx+C₂·e²ˣ·cosx

Пошаговое объяснение:

y''- 4y' + 5y=0 - линейное однородное уравнение 2-порядка с постоянными коэффициентами.

Для решения составим характеристическое уравнение:

λ²-4·λ+5=0 - квадратное уравнение.

D=(-4)²-4·1·5=16-20= -4 = (2·)²

λ₁=(4-2·)/2=2-, λ₁=(4+2·)/2=2+ - комплексные корни.

Тогда корню λ₁=2- соответствуют линейно независимые функции

e²ˣ·sinx и e²ˣ·cosx, каждое из которых является решением заданного уравнения. Поэтому общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:

y=C₁·e²ˣ·sinx+C₂·e²ˣ·cosx,

где C₁ и C₂ произвольные постоянные.