Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов. у" +25у = 100xsin5x+50cos5x необходимо указать корни характеристического уравнения, вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (с неопределенными коэффициентами).

2424r 2424r    1   16.06.2019 12:15    8

Ответы
natalia22082000 natalia22082000  13.07.2020 08:53

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

y''+25y=0

Пусть y=e^{kx}, получим характеристическое уравнение:

k^2+25=0\\ k=\pm5i

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня Два линейно независимые решения это y_1=\cos 5x,~ y_2=\sin5x

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

y^*=y_1+y_2=C_1\cos 5x+C_2\sin5x

Рассмотрим правую часть дифференциального уравнения:

f(x)=e^{0x}(100x\sin5x+50\cos 5x)~~\Rightarrow~~~\alpha =0;~~~ \beta=5\\ P_n(x)=100x~~~\Rightarrow~~~ n=1;~~~ Q_n(x)=50~~~\Rightarrow~~~ n=0

Число k=\alpha +i\beta принимает значение k=5i, это число является корнем характеристическое уравнение k^2+25=0. Кратность k=1

Частное решение будем искать в виде:

y^{**}=x^{k}((Ax+B)\sin 5x+(Cx+D)\cos 5x)=\\ \\ =(Ax+B)x\sin 5x+(Cx+D)x\cos 5x

Вычислим для нее производную второго порядка

y'=\left(-5Cx^2+\left(2A-5D\right)x+D\right)\sin 5x+(5Ax^2+(5B+2C)x+D)\cos5x\\ \\ y''=(-25Ax^2-(25B+20C)x-10D+2A)\sin 5x+(-25Cx^2+\\ \\ +(20A-25D)x+10B+2C)\cos 5x

Подставив в исходное дифференциальное уравнение, получим:

(-20Cx-10D+2A)\sin 5x+(20Ax+10B+2C)\cos 5x=100x\sin 5x+50\cos5x

Приравниваем коэффициенты при xcos5x, xsin5x, sin5x, cos5x, получим систему уравнений:

\begin{cases}&\text{}2A-10D=0\\&\text{}10B+2C=50\\&\text{}-20C=100\\&\text{}20A=0\end{cases}~~~~\Longrightarrow~~~\begin{cases}&\text{}D=0\\&\text{}B=6\\&\text{}C=-5\\&\text{}A=0\end{cases}

Частное решение: y^{**}=6x\sin 5x-5x^2\cos 5x

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

y=y^*+y^{**}=C_1\cos 5x+C_2\sin5x+6x\sin 5x-5x^2\cos 5x

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика