1. Математика
  2. Найти общее решение дифференциального

Найти общее решение дифференциального уравнения: y''(1+sinx)-1=0

maina342 maina342    2   02.09.2019 17:50    0

Ответы
MASTER2008 MASTER2008  01.09.2020 06:50
y''(1+\sin x)-1=0\\ \\ y''= \frac{1}{1+\sin x}

Проинтегрируем обе части уравнения

y'= \int\limits {\frac{1}{1+\sin x} } \, dx

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть u=tg \frac{x}{2}, тогда \sin x= \frac{2u}{u^2+1};\,\,\,\, \cos x= \frac{1-u^2}{1+u^2}

Будем иметь

\displaystyle \int\limits \frac{2du}{u^2+2u+1} = \int\limits\frac{2du}{(u+1)^2} =- \frac{2}{u+1} +C_1=- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1

y'=- \dfrac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1

Интегрируя снова, получаем

\displaystyle y= \int\limits\bigg(- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1\bigg)dx

Решим интегральчик сначала)

\displaystyle - \int\limits \frac{2dx}{tg\frac{x}{2}+1}=\bigg\{v=tg \frac{x}{2} \bigg\}=-4 \int\limit \frac{dv}{(v+1)(v^2+1)} =\\ \\ \\ =-2 \int\limits \frac{1-v}{v^2+1}dv -2 \int\limits \frac{1}{v+1} dv=-2arctg v+\ln|v^2+1|-2\ln|v+1|+C=\\\\ \\ =-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C

Общее решение: 

\boxed{y=-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C_1x+C_2}
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
botejijofo botejijofo  02.08.2019 04:50
Вспомнить как делить и умножать десятисные дроби...
Тупка11 Тупка11  02.08.2019 04:50
Всостав железного метеорита входит 91% железа и 8 целых одна третья % никеля. сколько килограммов железа,сколько килограммов никеля входит в состав сихотэ-алинского железного...
karinroy karinroy  02.08.2019 04:50
Решить уравнение 8 целых 4 десятых: на x =2целых 1 третья...
clicker666 clicker666  02.08.2019 04:50
Введро входит c л воды,а в кастрюлю - в 7раз меньше.насколько обьем этого ведра больше обьема этой кастрюли?...
katyamalahova47 katyamalahova47  02.08.2019 04:50
Ксаулебратьевв 2раза больше чем сечтер.у ее брата мурата столько же сколько и братьев сколько детей в семье...
juliacollins5 juliacollins5  02.08.2019 04:50
135/308 сократимая дробь ? если да то сократи...
valia01022004 valia01022004  02.08.2019 04:50
Шапка стоит а руб,а пальто -в9 оаз дороже.сколько стоят пальто и шапка вместе?...
fiaskobro fiaskobro  02.08.2019 04:50
Naydi kislo, esli: 1/5=16 1/3=18 1/4=16 1/7=14 1/3=15 1/2=47...
Olga692010 Olga692010  02.08.2019 04:50
Найдите область определение функции у=корень из 2х^2-х+1...
yuryklepikov yuryklepikov  02.08.2019 04:50
Придумайте 3 1 на время 2 на скорость 3 на движение...

Популярные вопросы