1. Математика
  2. Найти общее решение дифференциального

Найти общее решение дифференциального уравнения
(x+y)dx+(x+2y)dy=0

visokolova visokolova    3   01.07.2020 12:58    0

Ответы
jokerlytvinenkо jokerlytvinenkо  15.10.2020 15:08

(x + y)dx + (x + 2y)dy = 0

(x + 2y)dy = -(x + y)dx \ \ \ |:(x + 2y) \neq 0

dy = -\dfrac{x + y}{x + 2y} dx \ \ \ |:dx

\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x + y}{x + 2y}

y' = -\dfrac{x + y}{x + 2y}

Пусть f(x,y) = -\dfrac{x + y}{x + 2y}

Тогда f(\lambda x,\lambda y) = -\dfrac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x + 2\lambda y}= -\dfrac{\lambda (x + y)}{\lambda (x + 2y)} =-\dfrac{x + y}{x + 2y} = \lambda^{0}f(x,y)

Имеем однородную функцию f(x,y) нулевого измерения.

Положим \lambda = \dfrac{1}{x} в f(\lambda x,\lambda y), то есть f(x,y) = f \left(1; \ \dfrac{y}{x} \right)

Тогда y' = f \left(1; \ \dfrac{y}{x} \right). Замена: u(x) = \dfrac{y}{x}, откуда y = u(x) \cdot x и y' = u'(x) \cdot x + u(x)

Здесь u(x) = u, тогда имеем уравнение:

u'x + u = -\dfrac{x + ux}{x + 2ux}

u'x + u = -\dfrac{x(1 + u)}{x(1 + 2u)}

u'x = -\dfrac{1 + u}{1 + 2u} - u

u'x = -\dfrac{1 + u + u(1 + 2u)}{1 + 2u}

u'x = -\dfrac{1 + u + u + 2u^{2}}{1 + 2u}

\dfrac{du}{dx} \cdot x = -\dfrac{2u^{2} + 2u + 1}{1 + 2u}

\dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = -\dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = -\int \dfrac{dx}{x}

1) \ \displaystyle \int \dfrac{1 + 2u}{2u^{2} + 2u + 1} du = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{4u + 2}{2u^{2} + 2u + 1} du = \left|\begin{array}{ccc}2u^{2} + 2u + 1 = t\\(4u + 2)du = dt\\\end{array}\right| =

= \displaystyle \dfrac{1}{2} \int \dfrac{dt}{t} = \dfrac{1}{2} \ln |t| + C_{1} = \dfrac{1}{2} \ln |2u^{2} + 2u + 1| + C_{1}

2) \ \displaystyle -\int \dfrac{dx}{x} = -\ln|x| + C_{2}

\dfrac{1}{2} \ln |2u^{2} + 2u + 1| + C_{1} = -\ln|x| + C_{2}

\ln \sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \ln\left|\dfrac{1}{x} \right| + \ln |C|

\ln \sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \ln\left|\dfrac{C}{x} \right|

\sqrt{2u^{2} + 2u + 1} = \left|\dfrac{C}{x} \right|

2u^{2} + 2u + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}

Обратная замена:

2\left(\dfrac{y}{x} \right)^{2} + 2\left(\dfrac{y}{x} \right) + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}

\dfrac{2y^{2}}{x^{2}} + \dfrac{2y}{x} + 1 = \dfrac{C}{x^{2}}

\dfrac{2y^{2} + 2xy + x^{2}}{x^{2}} = \dfrac{C}{x^{2}}

2y^{2} + 2xy + x^{2} = C — общий интеграл

ответ: 2y^{2} + 2xy + x^{2} = C

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
vladir03Wlad vladir03Wlad  30.06.2019 23:30
Y=(ln tg x) найти производные второго порядка...
57den16 57den16  30.06.2019 23:30
Укажи значение в котором употребляется слово бассейн 1) искусственный водоём для плавания 2) область залегания полезных ископаемых 3) территория,по которой протекает...
s1nedesports s1nedesports  30.06.2019 23:30
78ц+38т742кг*7-1т377кг+(45т560-3т122кг)*6=...
irina18221 irina18221  30.06.2019 23:30
Найдите k ∩ p если k={f, n, b} и p={a, n, c}....
ivanovgrisha2df ivanovgrisha2df  30.06.2019 23:30
Сколько грамов 2-процентного и 5-процентного растворов соли надо взять что-бы получить 270 г. 3-процентного раствора ответ-лучший!...
elank elank  30.06.2019 23:30
Было 50 докладов,разделены на 4 дня,в первых двух днях было 13 докладов(поровну),в 3 и 4 по 12,надо узнать вероятность того что какой-то чел будет выступать в 4 дне...
Diannata Diannata  30.06.2019 23:30
Что значит неправильная сократимая дробь и правильная несократимая дробь? ясно надо...
kategarkysha kategarkysha  30.06.2019 23:30
Градусные меры трёх внешних углов треугольника относятся как 4: 5: 6 . найдите наибольший внутренний угол треугольника. a) 96° b) 74° c) 86° d) 84° e) 7...
Lizok2509 Lizok2509  30.06.2019 23:30
Турист части от 30 3/4 км пути в первый день, 2/5 части во второй, а остальной путь в третий день. сколько километров пути турист в третий день? ♡♡♡♡♡ заранее ♡♡♡♡♡...
vadim1231231 vadim1231231  30.06.2019 23:30
Вмеждународном конкурсе танцевальных пар российских спортсменов было 30 человек, что составило 1/4 всех участников. сколько всего спортсменов участвовали в конкурсе?...

Популярные вопросы