Найти область сходимости степенного ряда
решить

Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда, нужно определить, при каких значениях x ряд будет сходиться, то есть являться бесконечной суммой.

Для этого используем формулу радикального признака Коши. В данном случае, у нас есть степенной ряд ∑ from n=0 to ∞
an(x-a)n.

Согласно радикальному признаку Коши, область сходимости степенного ряда можно найти следующим образом:
- Построим пропорцию и подберем значение для "a", чтобы пропорция стала верной:
|
| |
| |
| |
| |
| |_____________(a-r)
|
|
|
(0─a───────────r─∞)
- Затем нужно проверить сходимость ряда при значении а - r и при а + r.
- Если ряд сходится при а - r и при а + r, то его область сходимости будет отрезком (а-r, а+r).
- Если ряд сходится только при а - r, то его область сходимости будет (-∞, а+r).
- Если ряд сходится только при а + r, то его область сходимости будет (a-r, +∞).
- Если ряд сходится и при а - r, и при а + r, то его область сходимости будет (-∞, +∞).

Перейдем к решению задачи. У нас дан степенной ряд ∑ from n=0 to ∞ (3^n (x-4)^n)/5^(2n).

Применим радикальный признак Коши:
(3^n (x-4)^n)/5^(2n) > 0, так как является произведением положительных слагаемых.

Δ(1/n * ln |(3^n (x-4)^n)/5^(2n)|) = Δ(1/n * (ln(3^n) + ln((x-4)^n) - ln(5^(2n)))),
где Δ - обозначает предел при n стремящемся к бесконечности.

Построим пропорцию:
(3^n (x-4)^n)/5^(2n) > 1, так как произведение положительных слагаемых всегда больше 0. Запишем неравенство без модуля для удобства вычислений.

ln(3^n) + ln((x-4)^n) - ln(5^(2n)) > ln(1).

После подстановки формул в неравенство, получим:
n(ln(3) + ln(x-4) - 2ln(5)) > 0.

Так как n > 0, то имеем:
ln(3) + ln(x-4) - 2ln(5) > 0.

Складываем логарифмы:
ln(3(x-4)/25) > 0.

Это неравенство выполняется только тогда, когда аргумент внутри логарифма больше 1.
3(x-4)/25 > 1.

Решаем неравенство:
3(x-4)/25 > 1,
3(x-4) > 25,
3x-12 > 25,
3x > 37,
x > 37/3.

Таким образом, мы определили, что степенной ряд ∑ from n=0 to ∞ (3^n (x-4)^n)/5^(2n) сходится при значениях x > 37/3. Областью сходимости является интервал (37/3, +∞).