Математика: Найти область сходимости функционального ряда/

Найти область сходимости функционального ряда/

Ответы

Igor2000Petrov 07.02.2021 17:15

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{n!\, x^{n}}{n^{n}}\\\\ \lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}= \lim\limits_{n \to \infty}\, \dfrac{(n+1)!\cdot |x|^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^{n}}{n!\cdot |x|^{n}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n!\cdot (n+1)\cdot |x|^{n}\cdot |x|\cdot n^{n}}{(n+1)^{n}\cdot (n+1)\cdot n!\cdot |x|^{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\ |x|\cdot \Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{n}=$

$=|x|\cdot \lim\limits_{n \to \infty}\ \Big(1+\dfrac{-1}{n+1}\Big)^{n}=|x|\cdot e^{-1}=\dfrac{|x|}{e}$

$=\lim\limits_{n \to \infty}\ \sqrt{2\pi n}\cdot \Big(\dfrac{n}{e}\Big)^{n}\cdot \Big(\dfrac{e}{n}\Big)^{n}=\lim\limits_{n \to \infty}\ \sqrt{2\pi n}=\infty \ ,\ \ rasxoditsya$

$x=-e:\ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n}\cdot n!\cdot e^{n}}{n^{n}}\ \ ,$ условия признака Лейбница не

выполняются, ряд расходится.

Область сходимости: $x\in (-e\ ;\ e\ )\ .$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Зайчик010101 07.02.2021 17:15

(-e;e)

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{n!}{n^n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\sqrt{2\pi n}\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n}}=\dfrac{1}{e}$

А тогда радиус сходимости $R=\dfrac{1}{\frac{1}{e}}=e$

Исследуем сходимость на концах

$x=e\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!e^n}{n^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!e^n}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{2\pi n}\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot e^n}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2\pi n}=\infty$ - необходимое условие сходимости не выполнено, а значит ряд расходится.

$x=-e\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!(-e)^n}{n^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-1)^n$

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n(-1)^n=\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n\sqrt{2\pi n}\neq 0$ - необходимое условие сходимости не выполнено, а значит ряд расходится.