Найти обем тела врашения, полученного при врашении прямоугольного треугольника с гипотенузой 4 см и с острым углом зо градусов вокруггепотенузы

Задачка очень простая, ведь при вращении образуются два конуса с одинаковым основанием,"приставленные" друг к другу этими основаниями, а объём конуса, как известно, (ПИ/3)*R^2 * H, поэтому объём всей фигуры будет

V = (ПИ/3)*(R^2*H1 + R^2*H2)= (ПИ/3)*R^2*(H1+H2)= (ПИ/3)*R^2*C, где с - сторона треугольника, вокруг которой идёт вращение. Это решение в самом общем виде. Дальше идут простые вычисления, связанные с тем, как задан треугольник.

У тебя он прямоугольный, да еще и угол при вершине хороший - 30градусов.

Поэтому дальше вариантов решений масса, можно через тригонометрию, можно рассиатривать подобные треугольники, можно ещё что-нибудь придумать, но я предложу метод решения, так называемых "площадей", потому что он часто позволяет напрямую и просто получить результат. Суть его в том, что площадь одной и той же фигуры выражают разными формулами(по разному считают), получается уравнение, из которого всё и находится.

Итак, пусть стороны нашего прямоугольного треугольника a,b,c, а высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу  H.

Тогда, с одной стороны, площадь треугольника равна с*H/2, а с другой стороны a*b/2, поэтому

с*H = a*b, откуда H=R=a*b/c.  R- это наш радиус вращения, он же равен высоте.

a и b определить очень просто а = с/2(против 30), или с*sin(Альфа) , если любой угол. b можно определить по теореме Пифагора, получится b=c*sqr(3)/2, или c*Cos(Альфа). Таким образом,

H = (c/2) * (с*sqr(3)/2)/с = с*sqr(3)/4, или в общем виде

H = с*Sin(Aльфа)*с*Cos(Альфа)/с = с * sin(2*Альфа)/2. Осталось подставить это значение в нашу формулу объёма, как R.

V = (ПИ/3)* R^2*c = (ПИ/3)* с^2*3*c/16 =ПИ*с^3/16 = ПИ*4^3/16 = 4*ПИ. Или в общем виде

V = (ПИ/3)* R^2*c = (Пи/12)* с^3 * (sin(2*Альфа))^2

Вот и всё.

Я умышленно затянул решение, чтобы был понятен ход рассуждений в подобных задачах.