Найти объем правильной четырехугольной пирамиды , если апофема образует с высотой пирамиды угол 30 градусов, а сторона основания пирамиды равна 12см.

288√3 cм³

Пошаговое объяснение:

Правильная пирамида – это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания. Апофема – это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания. Апофемы всех боковых граней правильная пирамиды равны.

Объём пирамиды через площадь основания S и высоту H определяется по формуле:

V = S•H/3.

По условию основание правильной пирамиды – четырехугольник. Тогда, по определению правильной пирамиды, основание – квадрат со стороной a=12 см. Тогда площадь основания S=a²=(12 см)² =144 см².

Точку пересечения диагоналей основания обозначим О, вершину пирамиды – K (см. рисунок):

ОK - высота пирамиды, KM - апофема боковой грани ΔAKB.

Так как DA=12 см, то ОМ=DA:2=12:2 см = 6 см.

Так как ΔОKM прямоугольный с ∠KОМ=90° и по условию ∠ОKM=30°, то по определению  

ctg30°= ОK/ОМ.

Отсюда ОK=ОМ•ctg30°=6 см•√3=6√3 см.

Тогда объем пирамиды равен

V=(144•6√3)/3=288√3 cм³.