Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x; y)=13x+11y-xy-x^2-y^2 в области , ограниченной линиями x=0, x=4,y=0,y=4

Ответы

vilnur345 26.08.2020 01:25

Пусть в данной функции x будет аргументом, а y — параметром:

f(x)=-x^2+(13-y)x-y^2+11y

Это парабола, ветви направлены вниз. Её вершина $x_0=\dfrac{13-y}{2}$ . Так как $0\leq y\leq 4$ , $4{,}5\leq \dfrac{13-y}{2}=x_0\leq 6{,}5$ . То есть при $0\leq x\leq 4$ функция возрастает при любом допустимом y.

Тогда максимальное значение достигается при x = 4. Подставим это значение в исходную функцию:

f(4)=-y^2+7y+36

Это парабола, ветви направлены вниз. Её максимальное значение достигается в её вершине: $y_0=3{,}5$ . Тогда максимальное значение всей функции при заданных ограничениях достигается в точке (4; 3,5) и равно 48,25.

Минимальное значение достигается при x = 0. Аналогично получаем f(0)=-y^2+11y .

Это парабола, ветви направлены вниз. Так как её вершина $y_0=5{,}5$ , при заданных y функция возрастает. Её наименьшее значение достигается при y = 0. Значит, наименьшее значение всей функции при заданных ограничениях достигается в точке (0; 0) и равно нулю.