Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в области D

ответ: min(f, D) = 0, max(f, D) = 3/2

Пошаговое объяснение:

минимум 0 - очевидно (x=0, y = 0 и для любых x, y из D x>=0, y>=0).

xy - площадь прямоугольника со сторонами x, y. Значит, нам нужно "вписать" внутрь треугольника прямоугольник максимальной площади. Ясно, что одна из вершин (а конкретнее - точка (x; y)) должна лежать на гипотенузе BC. Найдем уравнение гипотенузы. Уравнение в отрезках x/2+y/3 = 1, откуда y = -3/2*x+3. Заметим, что т.к. (x; y) лежит на этой прямой, то верно равенство xy=-3/2x^2+3x - парабола с ветвями вверх => достигает максимального значения в вершине x0 = -3/(-2*3/2) = 1 =>xy=-3/2+3 = 3/2.